Compito in classe II liceo scientifico PNI

L.Lecci\Compito 2D\Venerdì 27 febbraio 2004 1

Liceo Scientifico Statale “G. Stampacchia”

Tricase Tempo di lavoro

120 minuti

Oggetto: compito in Classe 2D/PNI

Argomenti: Geometria: Equivalenza delle figure piane – Algebra: Equazioni di secondo grado-

Regola di Cartesio - Equazioni parametriche. Collegamenti alla soluzione

Geometria Problema_1-Testo Soluzione

Problema_1 Sia ABC un triangolo qualsiasi. Dimostrare le geometria Problema_2-Testo Soluzione

seguenti proposizioni: Problema_3-Testo Soluzione

1.1 Una mediana divide il triangolo in due parti equiestese. Problema_4-Testo

1.2 Considerata la mediana AM e detto O il suo punto medio, Soluzione

Es_1-Testo

il triangolo AOB è equiesteso alla quarta parte del trian- Sol_1.1 ;Sol_1.2 ;Sol_1.3

golo ABC. Es_2-Testo

1.3 Le tre mediane dividono il triangolo in sei triangoli e- Soluzione- Osservazione

Algebra

quiestesi. Es_3-Testo

Problema_2 Dimostrare che un esagono regolare inscritto in una Soluzione

circonferenza ha estensione doppia del triangolo equilatero in- Es_4-Testo Soluzione

Regola di Cartesio

scritto nella stessa circonferenza. Sol_4.1; Sol_4.2; Sol_4.3;

Problema_3 -Considerato un triangolo ABC, descrivere il pro- Sol_4.4

cedimento che permette di trasformarlo in un triangolo isoscele

4

=

AP AB , con AP contenuto in AB.

equiesteso APQ avente 5

- Se ABCD e ABEF sono due parallelogrammi che giacciono nello stesso piano da par-

Problema_4

ti opposte rispetto al lato comune AB, dimostrare che il quadrilatero DCEF è equiesteso alla somma

dei due parallelogrammi dati.

Algebra

(m) Risolvere le seguenti equazioni

Es_1) ( ) 2 − − = − + + − =

− − = 2 2 2

12 x 4 mx m 0 1.3 x ( a b ) x 2

b ( a b ) 0

2 4 0 1.2

1.1 x

(m) Scrivere un’equazione di secondo grado avente per radici i seguenti numeri

Es_2) 1

= = +

x ; x 3 2 riducendola alla forma normale. Successivamente risolvere

1 2

−

3 2

l’equazione ottenuta.

(m) Nell’equazione di seguito indicata determinare il valore del parametro affinché una del-

Es_3) k

le due radici sia =-1 e, ridotta l’equazione alla forma normale, risolverla per determinare la secon-

x

da radice: 4 3 k

= +

− + − −

2

4 x 20 x 25 2 x 5 5 x 2

(m) Considerata l’equazione parametrica

Es_4) + − + − =

2

kx (5 2 k ) x k 3 0

risolvere i quesiti che seguono.

Discutere la realtà ed il segno delle radici al variare del parametro.

4.1 Stabilire per quali valori del parametro le radici sono concordi.

4.2 k

4.3 Stabilire per quale valore del parametro le radici sono reali e la somma dei loro quadrati è

k

5. = +

4.4 Stabilire per quali valori del parametro fra le radici sussiste la relazione e preci-

k x x 1

1 2

sare se le stesse sono reali.

Autore Luigi Lecci

L.Lecci\Compito 2D\Venerdì 27 febbraio 2004 2

S

O L

U Z

I O N

E

Geometria

Problema_1

1.1 In Fig.1 è rappresentato il triangolo ABC del quale

è stata tracciata la mediana AM relativa al lato BC. Occorre

provare che i due triangoli AMB, AMC sono equiestesi.

All’uopo basta considerare i due suddetti triangoli sulle ri-

spettive basi MB, MC ed osservare che esse sono con-

gruenti perché M è punto medio tra B e C e che le altezze

relative alle stesse in figura coincidono con AH, segmento

di perpendicolare condotto dal vertice A al lato BC. I due

triangoli, avendo basi congruenti e la stessa altezza relativa

sono equiestesi.

1.2 In Fig.2 è rappresentato il triangolo di riferimento.

Al fine di dimostrare la tesi basta osservare che con ra-

gionamento analogo a quello svolto nel precedente punto

possiamo affermare che il triangolo AOB è equiesteso al

triangolo MOB perché OB è mediana del triangolo AMB

relativa al lato AM; d’altra parte il triangolo AMB è e-

quiesteso al triangolo AMC e quindi è equiesteso alla me-

⇒

tà del triangolo ABC

1 1 1 1

⋅

AOB AMB ABC ABC

2 2 2 4

1.3 In Fig.3 il triangolo ABC è stato scomposto con le

mediane AM, BP,CN nei sei triangoli ANG, BNG, BMG, CMG, CPG, APG. Vogliamo provare che

essi sono equiestesi. Per la dimostrazione della tesi dobbiamo ricordare che il baricentro G del

triangolo divide ciascuna mediana in due segmenti dei quali quello che contiene il vertice è

, quindi AG=2GM, BG=2GP, CG=2GN.

doppio dell’altro

Ciò premesso osserviamo che:

• i triangoli AGN, GNB se considerati sulle basi AN, NB, che sono congruenti, risultano

avere come altezza il segmento di perpendicolare condotto da G alla retta delle basi,

dunque la stessa altezza e perciò sono equiestesi e ciascuno dei due è equiesteso alla me-

tà del triangolo ABG;

• considerando ora i due triangoli ABG, GBM

sulle basi AG, GM, poiché le altezze relative

coincidono e AG=2GM deduciamo

1

che e quindi si ha anche

GBM AGB

2 .

GBM GNB ,

In modo analogo si prova che APG CPG

considerati sulle basi congruenti AP, CP e che ,

ancora dall’essere AG=2GM, si ha anche

1 , dunque .

CMG ACG CMG CPG APG

. Infine, considerati i triangoli BMG, CMG sulle basi congruenti

dunque 2

CMG CPG APG

BM, CM, risultano equiestesi perché le altezze relative co