Compito in classe II liceo scientifico PNI

L.Lecci\Compito 2D\Martedì 23 Novembre 2004 1

Liceo Scientifico Statale “G. Stampacchia”

Tricase Tempo di lavoro

120 minuti

Oggetto: compito in Classe 2D/PNI

Argomenti: Radicali – Sistema di equazioni e disequazioni a coefficienti irrazionali - Disequazioni razionali

Problemi sulla circonferenza

intere, fratte e parametriche. Geometria: Soluzione

Algebra

Es_1) Stabilire il valore di verità della seguente disuguaglianza numerica

2 3 4 3 8 3

> 3

3

3 2 3 4 3 2

Semplificare la seguente espressione con radicali

Es_2)  

−

2 3 4

x x x 1

⋅ − ⋅

 

: 1

x

3

 

− + +

2 2 +

x 1 x 2 x 1 3 x 1

 

Es_3) Considerate le espressioni algebriche:

= − = − +

= − −

2 2

A

( x ) 2 x 2 x ; ; C ( x ) 2 x 3 x 1 ;

B ( x ) x x 1

= + − −

4 3 2

D ( x ) 2 x 5 x 8 x 20 x

Risolvere le seguenti disequazioni

≥ > ≤ <

A

( x ) 0 3.2 B ( x ) 0 3.3 C ( x ) 0 3.4 D ( x ) 0

3.1 B ( x ) < 0

3.5 C ( x ) −

3 x > , con a∈

0

Discutere la seguente disequazione parametrica: R

Es_4) 4.1 − +

2 x a 2

Stabilire per quali valori del parametro a reale positivo la seguente disequazione

4.2 − + >

6 x a 3 1 0 , ammette tra le sue soluzioni il valore x = 2 ma non il valore x =1.

 −

2 1

x + = −

1

y k



 6



Es_5) Risolvere il seguente sistema di equazioni 1

x

 − = −

y k

 2

2

Geometria (m): Considerato il triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC e con il cateto AB<AC,

Problema_1

disegnare la circonferenza circoscritta al triangolo, indicando con O il suo centro; si tracci la biset-

trice AK dell’angolo BAC e sia D il secondo punto in cui la sua retta incontra la circonferenza sud-

detta. Condurre l’altezza AH del triangolo ABC.

Dimostrare che i segmenti OD ed AH sono paralleli.

Quesito

Nel testo si richiede che il triangolo rettangolo ABC abbia i cateti non congruenti. Come so-

no disposti i segmenti OD, AH se i cateti sono congruenti ?

(m)

Problema_2

In una circonferenza tracciare una corda AB non passante per il centro. Detto O il punto me-

dio della corda, considerare due punti P, Q sulla corda AB e disposti simmetricamente ri-

spetto ad O, quindi tracciare per P e Q le perpendicolari alla corda AB, indicando con M, N i

punti d'intersezione con uno dei due archi della circonferenza sottesi dalla corda.

Dimostrare che i segmenti PM, NQ sono congruenti.

Autore Luigi Lecci\Liceo Scientifico “G. Stampacchia”- Tricase (LE) – 0833-544020

L.Lecci\Compito 2D\Martedì 23 Novembre 2004 2

Soluzione

Algebra

Es_1) Stabilire il valore di verità della seguente disuguaglianza numerica

2 3 4 3 8 3

> 3

3

3 2 3 4 3 2

Vogliamo dimostrare che e lo faremo elaborando le espressioni

la disuguaglianza è falsa

radicali presenti ai due membri riconducendole a due radicali equivalenti aventi lo stesso in-

dice. Sussistono le seguenti equivalenze: 2

2 3 3

2 3 4 3 2 3

2 3 4 3 8 3 2 4 3 3

> ⇔ ⇔ >

⋅ > ⋅ 3

3 3

3 3 ( )

3 3 3

2

3 2 3 4 3 2 3 3 2 2

3 2 3 3 2

2

2

( ) 2

2

3 5 5

5 5

3

2 4 3 2 3 2 3

⇔ ⋅ > ⋅ ⇔ >

⇔ > ⇔ > ⇔ >

12 9

2 3 .

4096 19683

6

6 6

6 ( ) 2

3 4 7

4 7 3 2

3 3 2 3 2

3

2

Poiché l’ultima disuguaglianza è manifestamente falsa, concludiamo che è falsa la disugua-

glianza di partenza.

Es_2) Semplificare la seguente espressione con radicali

 

−

2 3 4

x x x 1

⋅ − ⋅

  x

: 1

3

 

− + +

2 2 +

x x x

1 2 1 3 x 1

 

Soluzione

Come primo passaggio scomponiamo in fattori gli argomenti dei singoli radicali e trasfor-

miamo l’ultimo applicando la proprietà della .

radice di radice

 

−

2 3

x x x

(1 ) 1

⋅ − ⋅

  x

: 1 6

3

− + + +

2

x x x x

( 1)( 1) ( 1) 1

 

 

Dalla forma ottenuta si evince che per l’esistenza dell’espressione nel campo reale devono

essere soddisfatte le seguenti condizioni:

≠ − > + > ⇒ >

x x x

0; 1 0; 1 0 x 1 ∞

Il dominio di definizione dell’espressione algebrica è pertanto . Prima di passare

D = ]1;+ [

alla trasformazione delle diverse espressioni alg