Compito in classe I liceo scientifico PNI

L.Lecci\Compito 1D-PNI\ 24 maggio 2004 1

Tempo a disposizione

Liceo Scientifico G. Stampacchia 120 minuti

Tricase

Oggetto: compito in classe 1D

Argomenti: Teorema del resto- Divisione fra polinomi e fattorizzazione - Equazioni numeriche e

letterali di primo grado- Problema di primo grado numerico ad un’incognita – Problema geometrico

di primo grado- Problemi di geometria sintetica - Sistemi di equazioni di primo grado – Informatica.

Soluzione

Algebra

Es_1) (m) Considerato il polinomio

= − + − + −

3 2

P ( x ) 8 ax 4 ax 2(1 a ) x a 1 , +

P ( x ) : ( x 2)

dopo aver determinato il valore del parametro a per il quale la divisione

è esatta, scomporre in fattori il corrispondente polinomio P(x).

(m) Risolvere e discutere la seguente equazione letterale nell’incognita x

Es_2) + 2

mx 2 mx

− = 0

− − +

2

x 2 x 4 x 4

(m) Problema numerico di primo grado.

Es_3)

Determinare i due numeri naturali pari consecutivi tali che i tre mezzi del minore superano di 2 i

cinque quarti del maggiore.

(m)Risolvere i seguenti sistemi di equazioni

Es_4)  3 9

− = 0

 + = +

 2 x y 2 a

− +

 x y x y 4.2

4.1 

 − + + = −

− ( a 1) x ( a 2) y 4 a

x 2 y 4 

 − = −

y 8

 2 5

Geometria

Problema_1

Si consideri un triangolo scaleno ABC con AB>AC e si prenda su AB il punto C′ in modo che AC′

≅ AC e sulla semiretta del lato AC il punto B′ in modo che si abbia AB′≅AB. Dimostrare che il

quadrilatero BB′CC′ è un trapezio isoscele.

Problema_2 (m)

Nel quadrilatero convesso ABCD per le ampiezze degli angoli interni è noto che:

3 ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

= = = + −

B A , , .

C B D B C A

2 Determinare le ampiezze degli angoli interni del quadrilatero e classificare il poligono.

1)

2) Si supponga che CD≅AD e si tracci la bisettrice dell’angolo interno D̂ ; sia E il punto in

cui tale semiretta incontra il lato AB.

Determinare le ampiezze degli angoli dei triangoli ADE, DEC, ECB.

2.1 Dimostrare che la diagonale AC taglia il segmento DE nel suo punto medio.

2.2 Costruire la figura geometrica relativa al problema in modo che abbia le proprietà

2.3 indicate.

Informatica

Costruire un programma in T.P. che risolve il seguente problema:

L’utente deve dare in input due numeri naturali A, B con A≤ 100 e B≤ 1000 ed il programma deve

stampare tutti i multipli di A che non superano il numero B.

L’output fornito deve presentare i multipli di A disposti su righe contenenti 10 numeri ed indicare

quanti multipli sono stati stampati.

N.B. Nel programma si deve prevedere il controllo per la qualità dei numeri A e B inseriti; se i dati

non rispettano i criteri indicati si deve segnalare un messaggio di errore per l’utente e consentire la

reimmissione di dati adeguati.

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Soluzione Algebra

Es_1) = − + − + −

3 2

P ( x ) 8 ax 4 ax 2(1 a ) x a 1 (1)

Valore del parametro a α

+

P ( x ) : ( x )

Ricordiamo che nella divisione tra polinomi del tipo , in virtù del teorema del resto, il

resto R della stessa può essere determinato senza eseguire la divisione e risulta:

R=P(-α). Ciò premesso, calcoliamo il resto della divisione proposta. Si ha:

= − = − − − + − − + − = − −

3 2

R P ( 2) 8 a ( 2) 4 a ( 2) 2(1 a )( 2) a 1 75 a 5

Poiché si vuole che la divisione sia esatta dovrà essere nullo il resto trovato e dunque il parametro a

deve essere soluzione dell’equazione

1

− − = ⇔ = −

75

a 5 0 a 15

Sostituendo questo valore al parametro nel polinomio P(x), dopo semplici operazioni si ha:

8 4 32 16

= − + + −