Compito, classe I, liceo scientifico PNI: equazione frazionaria, equazione letterale, geometria

L.Lecci\Compito 1D-PNI\ 21 Aprile 2004 4

Geometria

Facciamo riferimento alla figura Fig.2

Nella stessa, rispetto alla figura riportata nel testo del

problema, abbiamo tracciato anche la diagonale BD,

oltre ad aver evidenziato il parallelogrammo PBQD.

1) Confrontando i due triangoli MPB, MQD

possiamo dimostrare che sono congruenti per il

secondo criterio. Infatti:

• i lati MB, MD sono congruenti perché in un

parallelogrammo le diagonali si tagliano

scambievolmente a metà;

• gli angoli PMB, QMD sono opposti al vertice,

quindi congruenti;

• gli angoli PBM, QDM formano una coppia di angoli alterni interni rispetto alle rette parallele

AB, DC tagliate dalla trasversale BD, quindi sono congruenti.

I due triangoli hanno quindi ordinatamente congruenti due angoli ed il lato compreso e quindi, come

elementi corrispondenti, sono congruenti i segmenti PB, DQ. Poiché questi sono anche paralleli tra

loro, possiamo concludere che il quadrilatero PBQD è un parallelogrammo per avere due lati

opposti congruenti e paralleli.

2) Dalla precedente dimostrazione, ricordando che in un parallelogrammo i lati opposti sono

congruenti, deduciamo:

• ⇒AB-AP≅CD-DQ ⇔AP≅CQ;

AB≅CD, PB≅QD

• AD≅BC perché lati opposti nel parallelogrammo ABCD;

• gli angoli DAC, BCQ sono congruenti perché angoli opposti nel parallelogrammo ABCD.

Pertanto i due triangoli APD, CQB sono congruenti per il primo criterio.

4) Tracciamo le bisettrici DS, BR,

rispettivamente degli angoli ADP, CBQ.

Avendo dimostrato la congruenza dei

triangoli APD, CBQ, segue che sono

congruenti i due angoli ADP, CBQ

perché elementi corrispondenti e quindi

sono anche congruenti le rispettive metà:

SDP≅RBQ; inoltre, considerato che il

quadrilatero PBQD è un

parallelogrammo, sono anche congruenti

ˆ ˆ

QBD

PDB

i due angoli , in quanto

coppia di angoli alterni interni formati dalle parallele DP, BQ tagliate dalla trasversale

BD. Sommando ordinatamente gli angoli congruenti otteniamo ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

= + ≅ + = RBD

SDB SDP PDB RBQ QBD RBD e poiché i due angoli , formano

SDB

una coppia di angoli alterni interni rispetto alla rette delle bisettrici DS, BR, tagliate dalla

trasversale BD, dalla loro congruenza scaturisce che sono parallele le rette delle bisettrici.

Autore Luigi Lecci

L.Lecci\Compito 1D-PNI\ 21 Aprile 2004 3

+ − − − + − − + − + − −

2 2

x ( a x 1) ( x 2) a 3 x 3 (1 a x 2 x 1) (3 x 5 x ) ⇔

=

− −

x ( x 2) x ( x 2)

≠ &n