Si dimostri che in fase di caduta l'accelerazione di uno yo-yo è pari a...

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Scopri come dimostrare che l'accelerazione di un yo-yo in caduta, con cordicella fissa, è pari a 2/3g. Analizza le forze in gioco, il momento di inerzia e le equazioni fondamentali per comprendere il movimento di questo cilindro uniforme e le sue dinamiche.

Concetti Chiave

  • Un yo-yo, considerato come un cilindro uniforme, ha un'accelerazione di caduta pari a 2/3g quando la cordicella è tenuta fissa.
  • Le forze in gioco durante la caduta sono la forza peso, diretta verso il basso, e la tensione della cordicella, diretta verso l'alto.
  • Il momento di inerzia del yo-yo è calcolato come I = 1/2mr², essenziale per determinare la tensione nella cordicella.
  • Utilizzando le equazioni del moto, si deduce che la tensione T è pari a 1/2ma, dove a è l'accelerazione del yo-yo.
  • La relazione tra accelerazione lineare e angolare è espressa da a = r·α, che permette di collegare le forze e i momenti agendo sul yo-yo.

{etRating 4}

Uno yo-yo, di massa

[math]m[/math]
e raggio
[math]r[/math]
è avvolto da una cordicella.

Si assuma che il giocattolo sia un cilindro uniforme, e si dimostri che in fase di caduta (cordicella tenuta fissa) la sua accelerazione è pari a

[math]2/3g[/math]

In figura sono illustrate le forze in gioco. Vediamo la forza peso, diretta verso il basso, e la tensione della funicella, diretta verso l'alto.

Si prenda come positiva la direzione in cui è orientata la forza peso.

La tensione esercita un momento sulllo yo-yo. Poichè esso può esser considerato un cilindro pieno, il suo momento di inerzia è

[math]I=1/2mr^2[/math]

Le equazioni da scrivere sono

[math]sumvecF=vecP-vecT=mg-vecT=mveca[/math]

[math]sumvecM=vecT \cdot r=I \cdot vecalpha[/math]

[math]veca=r \cdot vecalpha[/math]

[math]\begin{cases} mg-T=ma \\ T \cdot r=I \cdot alpha \\ a=r \cdot alpha \ \end{cases}[/math]

La seconda equazione la scriviamo inserendo il valore del momento di inerzia

[math]T \cdot r=1/2mr^2 \cdot alpha[/math]

Semplifichiamo il raggio

[math]T=1/2mr \cdot alpha[/math]

Usiamo la terza equazione, la quale ci dice che la velocità  angolare moltiplicata il raggio ci dà  l'accelerazione lineare, perciò l'equazione 2° diventa

[math]T=1/2ma[/math]

A tal punto siamo pronti per sostituire questo valore di

[math]vecT[/math]
nella prima equazione, che diviene

[math]mg-1/2ma=ma[/math]

Semplificando la massa, ininfluente

[math]g-1/2a=a[/math]

ovvero

[math]a=2/3g[/math]

FINE

Domande da interrogazione

  1. Qual è l'accelerazione di un yo-yo in caduta con la cordicella tenuta fissa?

    2. L'accelerazione del yo-yo in caduta, con la cordicella tenuta fissa, è pari a \( \frac{2}{3}g \) (dove \( g \) è l'accelerazione di gravità).

  2. Quali forze agiscono su un yo-yo durante la caduta?

    3. Durante la caduta, le forze in gioco sono la forza peso, diretta verso il basso, e la tensione della cordicella, diretta verso l'alto.

  3. Come si calcola la tensione nella cordicella di un yo-yo?

    4. La tensione nella cordicella può essere calcolata utilizzando l'equazione \( T = \frac{1}{2}ma \), dove \( a \) è l'accelerazione lineare del yo-yo.

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