Giocatore di basket: moto parabolico

_Steven
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Scopri il moto parabolico attraverso un esercizio pratico con un giocatore di basket. Analizziamo il lancio di una palla verso un canestro, calcolando la velocità iniziale necessaria per centrare il bersaglio, considerando le componenti orizzontali e verticali del movimento.

Concetti Chiave

  • Il moto parabolico è composto da un movimento verticale uniformemente accelerato e un movimento orizzontale rettilineo uniforme.
  • Per calcolare la traiettoria della palla, si utilizzano due equazioni che collegano le componenti orizzontale e verticale del moto.
  • L'angolo di lancio influisce sulla velocità iniziale necessaria per centrare il canestro, che è calcolata attraverso formule specifiche.
  • La traiettoria deve passare per le coordinate del canestro, e l'equazione finale dipende dai valori di altezza e distanza dal canestro.
  • La velocità iniziale necessaria per centrare il canestro senza colpire il tabellone risulta essere di 10,65 m/s.

Quando parliamo di moto parabolico, si fa riferimento ad un moto che in realtà è dato dalla somma di due moti.
Il primo moto è quello associato all'accelerazione di gravità ed è verticale ed uniformemente accelerato.
Il secondo è orizzontale ed è rettilineo uniforme, dovuto alla velocità iniziale (che ha una componente orizzontale la quale rimane costante trascurando gli attriti).
Vediamo un esercizio di esempio.

Testo dell'esercizio

Un giocatore di basket altro
[math]2[/math]
metri è fermo sul campo da gioco a
[math]10[/math]
metri dal canestro, quest'ultimo alto
[math]3,05[/math]
metri. Se egli lancia la palla con un angolo di
[math]40°[/math]
rispetto all'orizzontale, quale dovrebbe essere la velocità iniziale del lancio per centrare il canestro senza colpire il tabellone?

Soluzione dell'esercizio

Procediamo in questo modo: le equazioni che descrivono il moto orizzontale e verticale nel sistema di riferimento più conveniente (ovvero origine nella mano del lanciatore e canestro nel punto
[math]P=(x_0, y_0)=(10m, 1,05m)[/math]
) sono:

[math]x=v_x t[/math]
[math]y=v_y t - (\frac{1}{2}) g t^2[/math]

Ossia un moto rettilineo uniforme combinato con uno uniformemente accelerato. Questo è un sistema di 2 equazioni legate da un parametro comune, il tempo.
Se lo si esplicita in una delle 2 e lo si sostituisce nell'altra, si ottiene l'andamento della y in funzione della x, ossia della traiettoria del moto.
Dopo aver ricavato il tempo dalla prima e aver sostituito nella seconda, si giunge con qualche conto a:

[math]y=\frac{v_y}{v_x} x - (\frac{1}{2}) \frac{g}{({v_x})^2} x^2[/math]
che è l'equazione di una parabola passante per l'origine (mano del lanciatore), concavità verso il basso e con il vertice nel quadrante del canestro se
[math]v_x[/math]
e
[math]v_y[/math]
sono entrambe positive.

Ora, a noi non conviene tenere

[math]v_x[/math]
e
[math]v_y[/math]
, perché il problema dice che la palla parte con un angolo di
[math]40°[/math]
, quindi se chiamiamo
[math]v[/math]
il modulo della velocità , avremo
[math]v_x = v \cos \alpha[/math]
e
[math]v_y = v \sin \alpha[/math]
.
Quindi sostituendo anche questo nella formula della traiettoria di prima, vediamo che le 2 incognite
[math]v_x[/math]
e
[math]v_y[/math]
si riducono solo all'incognita
[math]v[/math]
:

[math]y = - \frac{g}{2 v^2 (\cos \alpha)^2} x^2 + \tan \alpha x[/math]
A questo punto imponiamo che la traiettoria debba passare per il canestro, ovvero sostituisci
[math]y = y_0[/math]
e
[math]x=x_0[/math]
e poi ricaviamo l'unica incognita che è la velocità .
Esplicitando la velocità  e sostituendo appunto le coordinate
[math]y = y_0[/math]
e
[math]x=x_0[/math]
, si ha
[math]v^2 = - \frac{g (x_0)^2}{(y_0 - \tan \alpha x_0) 2 (\cos \alpha)^2}[/math]

e mettendo dentro i dati forniti, ovvero

[math]\alpha=40°, x_0=10m, y_0=1,05m[/math]
e poi facendo la radice quadrata, otteniamo
[math]10,65 m/s[/math]
.

Notiamo che l'estrazione di radice non è possibile se il membro di destra è negativo e quindi se la parentesi al denominatore è maggiore di 0.
Dovrà  quindi valere

[math]y_0 \leq \tan \alpha x_0[/math]
, ossia, fissato alfa, il canestro può trovarsi solo sotto alla tangente alla parabola nella mano.
E ciò è ragionevolissimo, se ci si sofferma ad immaginare la scena.
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Quali sono i due moti che compongono il moto parabolico?

    2. Il moto parabolico è composto da un moto verticale, associato all'accelerazione di gravità e uniformemente accelerato, e da un moto orizzontale, che è rettilineo uniforme e dovuto alla velocità iniziale, la quale rimane costante trascurando gli attriti.

  2. Come si determina la traiettoria di un oggetto in moto parabolico?

    3. La traiettoria di un oggetto in moto parabolico si determina utilizzando due equazioni: una per il moto orizzontale \(x = v_x t\) e una per il moto verticale \(y = v_y t - \frac{1}{2} g t^2\), legate dal tempo. Sostituendo il tempo da una equazione all'altra, si ottiene l'equazione della traiettoria.

  3. Qual è l'importanza dell'angolo di lancio nel calcolo della velocità iniziale?

    4. L'angolo di lancio è fondamentale perché determina le componenti orizzontale e verticale della velocità iniziale. Utilizzando l'angolo \(\alpha\), si esprimono le componenti come \(v_x = v \cos \alpha\) e \(v_y = v \sin \alpha\), semplificando il problema a una sola incognita, la velocità \(v\).

  4. Quali condizioni devono essere soddisfatte affinché la palla colpisca il canestro?

    5. Affinché la palla colpisca il canestro, deve valere la condizione \(y_0 \leq \tan \alpha x_0\). Questo significa che, fissato l'angolo di lancio, il canestro deve trovarsi sotto alla tangente alla parabola nel punto di partenza della palla.

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