Conservazione dell'energia meccanica: esercizio

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Scopri come applicare il principio di conservazione dell'energia meccanica attraverso un esercizio pratico. Analizziamo un carrello su montagne russe, calcolando la velocità a diverse altezze e comprendendo il ruolo delle forze conservative nel sistema.

Concetti Chiave

  • La conservazione dell'energia meccanica implica che, in assenza di forze non conservative, l'energia totale di un sistema rimane costante.
  • Nel caso del carrello delle montagne russe, l'energia meccanica totale è la somma dell'energia cinetica e potenziale in due punti diversi.
  • La velocità del carrello nel punto B viene calcolata utilizzando l'equazione della conservazione dell'energia, tenendo conto delle altezze e delle velocità iniziali.
  • La velocità iniziale del carrello, espressa in km/h, viene convertita in m/s per facilitare i calcoli, risultando in 25 m/s.
  • Dopo aver applicato la formula, la velocità finale del carrello nel punto B è calcolata e convertita in 102 km/h.

Quando si parla di conservazione dell'energia meccanica, è importante ricordare che ci stiamo riferendo ad un principio fisico secondo il quale, a meno della presenza di forze non conservative, l'energia meccanica di un sistema è costante lungo qualsiasi punto del sistema.
Essa è data, come vedremo nell'esercizio, dalla somma di energia meccanica e energia potenziale. Vediamo il testo dell'esercizio.

Testo dell'esercizio

Il carrello che trasporta le persone lungo la pista delle montagne russe ha la velocità di 90 Km/h in un punto all'altezza di 20,0 m dal suolo.
  • Quale sarà la sua velocità dopo essere sceso in un punto posto all'altezza di 11,0 m dal suolo? (trascura gli attriti)

Svolgimento dell'esercizio

Poiché il livello 0 dell'energia potenziale può essere scelto in modo arbitrario, per comodità scegliamo di posizionarlo nel punto B, cioè a 11,0 m dal suolo.
Sapendo che in un sistema soggetto alla forza-peso, in assenza di attriti, l'energia meccanica totale (energia cinetica + energia potenziale) si conserva, cioè rimane sempre uguale, possiamo affermare che l'energia del carrello nel punto A è uguale a quella nel punto B:

[math]E_A = E_B \to U_A + K_A = U_B + K_B[/math]

Avendo posto, però, come livello zero dell'energia potenziale quello situato a 11,0 m dal suolo, nel punto B l'energia potenziale sarà pari a zero, cioè:

[math]U_A + K_A = K_B[/math]

Ricaviamo quindi la velocità del carrello nel punto B:

[math]mgh_A + 1/2 mv_A ^2 = 1/2 mv_B ^2[/math]

La massa del carrello è presente in ogni termine, possiamo quindi semplificarla:

[math]gh_A + 1/2 v_A ^2 = 1/2 v_B ^2 \to 2gh_A = v_A^2+v_B^2[/math]

Ricaviamo quindi la velocità nel punto B:

[math]v_B = \sqrt {2gh_A + v_A ^2}[/math]

Considerando il livello 0 dell'energia potenziale, l'altezza alla quale si trova il carrello nel punto A sarà uguale a

[math]20,0 m - 11,0 m = 9,00 m[/math]

Trasformiamo poi la velocità, che deve essere espressa in m/s:

[math]90 km/h = 90/3,6 m/s = 25 m/s [/math]

Sostituiamo all'equazione i valori numerici:

[math]v_B = \sqrt {2 \cdot 9,8 m/s^2 \cdot 9,00 m + (25 m/s) ^2} = \sqrt{801,4 m^2/s^2} = 28,3 m/s [/math]

Poiché la velocità nel punto A era espressa in km/h, possiamo trasformare anche questa in km/h:

[math] v_B = 28,3 m/s = (28,3 \cdot 3,6) km/h = 102 km/h [/math]
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è il principio fondamentale della conservazione dell'energia meccanica?

    2. Il principio della conservazione dell'energia meccanica afferma che, in assenza di forze non conservative, l'energia meccanica di un sistema rimane costante lungo qualsiasi punto del sistema.

  2. Come si calcola la velocità del carrello in un punto più basso della pista?

    3. La velocità del carrello nel punto più basso si calcola utilizzando l'equazione dell'energia meccanica, dove l'energia potenziale nel punto più basso è zero e si conserva l'energia totale tra i due punti.

  3. Qual è il risultato finale della velocità del carrello nel punto B?

    4. La velocità del carrello nel punto B, dopo aver effettuato i calcoli, risulta essere di 28,3 m/s, che corrisponde a 102 km/h.

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