Esercizio svolto di meccanica sulla caduta di un corpo

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Erectus
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Scopri come risolvere un esercizio di meccanica sulla caduta di un corpo da un'altezza iniziale. Analizziamo la forza di gravità, il moto rettilineo uniformemente accelerato e il teorema della conservazione dell'energia per calcolare velocità e altezze in modo chiaro.

Concetti Chiave

  • La caduta di un corpo in assenza di attrito con l'aria è guidata dalla forza di gravità, con un'accelerazione di circa 9,81 m/s².
  • Il tempo di volo di un corpo in caduta libera può essere calcolato usando la formula t_v = √(2h/g), dove h è l'altezza iniziale.
  • La velocità di caduta aumenta linearmente nel tempo, espressa dalla formula v_t = g · t.
  • Utilizzando il teorema della conservazione dell'energia, si può calcolare la velocità di un corpo in caduta e la sua altezza in vari punti del moto.
  • La massa del corpo non influisce sui risultati dei calcoli legati all'energia meccanica, poiché si semplifica nelle equazioni.

Nel seguente appunto presenteremo traccia e svolgimento di un problema di meccanica relativo alla caduta di un corpo. Difatti, quando trascuriamo l'attrito con l'aria, un corpo che si trova ad una certa altezza non nulla rispetto al suolo, è attratto dal centro della Terra da una forza di intensità non nulla chiamata forza di gravità. La presenza di questa forza fa sì che, per il secondo principio della dinamica, esso cada con un'accelerazione pari all'accelerazione di gravità, comunemente nota come

[math] g [/math]
e pari a
[math] 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} [/math]
.

Velocità di caduta di un corpo

In questo paragrafo e nei successivi supporremo sempre di star trascurando la resistenza dell'aria. Se si trascura la resistenza dell'aria, un corpo in caduta da una certa altezza
[math] h [/math]
non ha velocità costante. Infatti, esso si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, dove l'accelerazione del caso è
[math] g \sim 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} [/math]
.
Il tempo di volo
[math] t_v [/math]
associato ad un corpo in caduta libera si può ricavare tramite la formula inversa della legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato. Difatti:
[math] s = \frac{1}{2}at^2 \rightarrow t = \sqrt{\frac{2s}{a}} \rightarrow t_v = \sqrt{\frac{2h}{g}} [/math]
Dato che
[math] a = \frac{v}{t} [/math]
per definizione di accelerazione, è possibile calcolare la velocità in un certo istante
[math] t [/math]
tramite la formula:
[math] v_t = g \cdot t [/math]
In sintesi, la velocità di caduta di un corpo non è costante ma aumenta linearmente col tempo di volo relativo al corpo.
Per approfondimenti sul moto rettilineo uniformemente accelerato, vedi anche qua

Traccia del problema

Un peso di massa
[math] 8,0 \text{kg} [/math]
è appeso a un'altezza di
[math] 10 \text{m} [/math]
dal suolo. Il filo che lo sostiene all'improvviso si rompe e il peso cade, in assenza di forze esterne.
  • Quanto vale la velocità acquistata quando si trova a
    [math]4,0 \text{m} [/math]
    dal suolo?
  • A che altezza si trova quando possiede una velocità di
    [math]6,0 \frac{\text{m}}{\text{s}}[/math]
    ?
forza_di_gravità

Svolgimento parte 1

Poniamo come livello zero dell'energia potenziale il pavimento; secondo il teorema della conservazione dell'energia meccanica, l'energia del peso nel punto di partenza (quando si trova ad un'altezza di
[math]10 \text{m} [/math]
) è uguale a quella nel punto di arrivo (all'altezza di
[math] 4,0 \text{m} [/math]
):

[math] E_i = E_f \to U_i + k_i = U_f + k_f [/math]

Sappiamo che in entrambi gli stadi il peso possiede energia potenziale gravitazionale, poiché si trova ad una determinata altezza. Tuttavia, nello stato iniziale esso è fermo, quindi non possiede energia cinetica (cioè

[math] k_i = 0 [/math]
):

[math] U_i = U_f + k_f \to mgh_i = 1/2 m v_f ^2 + mgh_f [/math]

Possiamo semplificare la massa (del resto è interessante notare che la massa non influisce sul risultato del problema, è un dato abbondante):

[math] gh_i = 1/2 v_f ^2 + gh_f [/math]

Ricaviamo ora la velocità:

[math] 2gh_i = v_f ^2 + 2gh_f \to v_f^2 = 2gh_i - 2gh_f[/math]

Estraendo la radice si ha quindi:

[math]v_f = \sqrt{2gh_i - 2gh_f} = \sqrt{2g (h_i - h_f)} [/math]

Determiniamo la velocità:

[math] v_f = \sqrt{2 \cdot 9,8 m/s^2 \cdot (10 m - 4,0 m )} \sim 10,84 m/s \sim 11 m/s [/math]

Vediamo ora un modo alternativo di svolgere la parte 1.
Quando il corpo si troverà ad un altezza di

[math] 4 \text{m} [/math]
rispetto al suolo, vorrà dire che avrà percorso una distanza verticale
[math] s = 6 \text{m}[/math]
.
Possiamo quindi calcolare il tempo di volo
[math] t_v [/math]
:
[math] t_v = \sqrt{\frac{2s}{g}} \sim 1,11 \text{s} [/math]
Ora possiamo trovare la velocità in quel punto utilizzando la definizione di accelerazione. Sappiamo che
[math] v_t = g \cdot t [/math]
, di conseguenza:
[math] v_t = 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 1,11 \text{s} \sim 10,89 m/s \sim 11 m/s [/math]

Svolgimento parte 2

Utilizzando ancora il teorema della conservazione dell'energia meccanica, possiamo determinare l'altezza del peso quando assume una velocità di
[math]6,0 m/s[/math]
.
forza_di_graivtà
Consideriamo quindi lo stato iniziale quello in cui si trova a
[math]10 \text{m}[/math]
dal suolo, e nel quale possiede solo energia potenziale.
Lo stato finale è quello in cui ha una velocità di
[math]6,0 m/s[/math]
e ha quindi energia cinetica, e, poiché si trova ad una determinata altezza, possiede anche energia potenziale:
[math] E_i = E_f \to U_i + k_i = U_f + k_f [/math]

Ricordando poi che

[math] U = mgh, K = \frac{1}{2}mv^2 [/math]
si ottiene:
[math] mgh_i = mgh_f + 1/2 m v_f ^2 [/math]
Possiamo semplificare la massa:
[math] gh_i = gh_f + 1/2 v_f ^2 [/math]
Ricaviamo l'altezza finale:

[math] 2gh_i = 2gh_f + v_f ^2 \to 2gh_f = 2gh_i - v_f^2 \to h_f = \frac{2gh_i - v_f^2}{2g} [/math]

Troviamo ora il valore dell'altezza:

[math] h_f = \frac{2 \cdot 9,8 m/s^2 \cdot 10m - (6,0 m/s)^2}{2 \cdot 9,8 m/s^2} \sim 8,16 m \sim 8,2 m [/math]

Per approfondimenti sul principio di conservazione dell'energia, vedi anche qua

Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è l'accelerazione di un corpo in caduta libera trascurando l'attrito con l'aria?

    2. L'accelerazione di un corpo in caduta libera, trascurando l'attrito con l'aria, è pari all'accelerazione di gravità, comunemente nota come g, che è di circa 9,81 m/s².

  2. Come si calcola il tempo di volo di un corpo in caduta libera?

    3. Il tempo di volo t_v di un corpo in caduta libera può essere calcolato con la formula t_v = √(2h/g), dove h è l'altezza da cui il corpo cade e g è l'accelerazione di gravità.

  3. Qual è la velocità di un corpo che cade da un'altezza di 10 m quando si trova a 4 m dal suolo?

    4. La velocità del corpo quando si trova a 4 m dal suolo è di circa 11 m/s, calcolata utilizzando la conservazione dell'energia meccanica.

  4. Come si determina l'altezza di un corpo che ha una velocità di 6,0 m/s durante la caduta?

    5. L'altezza del corpo quando ha una velocità di 6,0 m/s può essere determinata usando la formula h_f = (2gh_i - v_f²)/(2g), risultando in un'altezza di circa 8,2 m.

  5. Qual è il principio alla base della conservazione dell'energia meccanica in un corpo in caduta?

    6. Il principio della conservazione dell'energia meccanica afferma che l'energia potenziale iniziale di un corpo in caduta si trasforma in energia cinetica e potenziale finale, mantenendo costante l'energia totale del sistema.

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