Il moto dei satelliti artificiali

1. IL MOTO DEI SATELLITI

Il 4 ottobre 1957 venne lanciato il primo satellite artificiale intorno alla terra, ebbe

inizio l'era spaziale e l'opinione pubblica cominciò a conoscere dai mass media i

concetti fondamentali della navigazione spaziale ed i termini ad essa relativi, come

velocità di fuga, orbita terrestre, satellite geostazionario, ecc.

Quanti però conoscono realmente il significato fisico e matematico che si nasconde

dietro tali termini ?

Supponiamo di trovarci su un'alta montagna

come mostrato nella figura a fianco, e di lanciare

un corpo in direzione orizzontale verso la pianura

sottostante.

Effettuando diversi lanci a velocità crescente

potremo notare che il corpo cadrà sempre più

lontano secondo un'orbita che sappiamo essere

una parabola con asse verticale e concavità verso

il basso.

Con maggiore precisione possiamo affermare (e

lo proveremo), che si tratta in realtà di una

ellisse fortemente eccentrica: lo scostamento

dalla parabola, inizialmente insensibile, diverrà

sempre più evidente man mano che la gittata

aumenta e non sarà più possibile ritenere

parallele fra loro le verticali nel punto di partenza e nel punto di arrivo.

La traiettoria ellittica ha un fuoco nel centro della terra e, se si scavasse una galleria

il corpo descriverebbe l'intera ellisse e tornerebbe nel punto di partenza con la

stessa velocità iniziale con cui era partito (naturalmente trascurando l'attrito con

l'aria).

Per velocità iniziali sempre più elevate la traiettoria si fa meno eccentrica fino a

quando, con una velocità di circa 28.000 Km/h il corpo percorrerebbe una traiettoria

perfettamente circolare mantenendosi sempre alla stessa quota costante ed

effettuando un giro completo intorno alla terra in circa un'ora e mezza.

Per velocità maggiori il corpo descriverà sempre una ellisse, ma la terra si troverà

nell'altro fuoco: in altre parole con una velocità iniziale minore di quella caratteristica

perigeo

della circonferenza (28.000 Km/h) il punto di partenza del corpo costituirà il

dell'orbita, mentre per velocità maggiori il punto di partenza costituirà l'apogeo. 1

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2. ENERGIA POTENZIALE IN UN PUNTO

L'energia potenziale gravitazionale in funzione

della distanza x dal corpo di massa M che genera

il campo, è Mm

= −

U G X

Infatti l'energia potenziale aumenta

all'aumentare di x, deve essere nulla

all'infinito, e perciò in tutti i punti

intermedi deve avere valore negativo.

La funzione rappresenta una iperbole

equilatera con gli asintoti coincidenti con

gli assi coordinati.

3. LA TRAIETTORIA DI UN SATELLITE

Si abbia un pianeta di massa M ed

un satellite di massa m con velocità

V, ad una distanza r dal pianeta.

principio di conservazione

Per il

dell'energia, la somma della sua

energia cinetica e della sua energia

potenziale è costante

1 Mm

− =

2

mV G E

2 r

Le due componenti della velocità V

lungo la direzione radiale e lungo la

direzione trasversale sono  dr

α

= =

V V cos



 r dt

 ϕ

d

 α

= =

V V sen r

 ϕ

 dt

dϕ

dr

(dove è una comune velocità mentre è una velocità angolare).

dt dt

Sostituendo nella relazione precedente, si ha 2

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1 Mm

( )

+ − =

2 2 E

m V V G

ϕ

r r

2  

2

2 ϕ

 

  d

1 dr Mm

+ = +

 

 

m r E G

 

2 dt dt r

   

 

 

Ma il momento della quantità di moto del satellite è

ϕ ϕ p

d d

= ∧ = ⋅ = ⋅ ⋅ =

da cui si ricava che

p r q r mV r m r r

ϕ dt dt mr

e sostituendo si ottiene  

2 2

p

 

1 dr Mm

+ = +

 

m E G

 

2 2

2 dt m r r

 

 

 

2 2

p

 

1 dr Mm

= + −

 

m E G 2 2

2 dt r m r

  2

p

dr 2

E 2

GM

= ± + − 2 2

dt m r m r

Questa equazione differenziale si può integrare facilmente per separazione di

legge oraria

variabili, e si ottiene la variazione di r in funzione di t, cioè la del moto,

traiettoria

ma noi intendiamo invece ricavare la del satellite, non la legge oraria.

Dalle due relazioni ϕ p

 d =

 2

dt mr



 2

p

dr 2

E 2

GM

 = ± + −

 2 2

 dt m r m r

occorre quindi eliminare il parametro t. Si dovrà ottenere una funzione del tipo

ϕ = f r

( ) .

Dividendo membro a membro e semplificando, si ottiene

ϕ ±

d 1 1

= 2

dr r 2

2

Em 2

GMm 1

+ −

2 2 2

p rp r

ϕ ±

d 1 1

= 2

dr r  

2

p

2

Em GMm

 

− − − +

1

 

2 2

p Er 2

Emr

 

In questa espressione poniamo ora

2

p GMm

− = − =

2

b 2

a

e

2

Em E 3

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a b

dove e hanno entrambe le dimensioni di una lunghezza e sono entrambe positive

semiassi della ellisse

(come vedremo in seguito rappresentano i descritta dal

satellite).

Sostituendo si ha ±

dr 1

ϕ =

d 2

r  

2

1 2

a b

− + −

 

1

2 2

b r r

 

±

dr b

ϕ =

d 2

r 2

2

a b

− + −

1 2

r r

Integriamo i due membri con tre sostituzioni successive:

1° SOSTITUZIONE -r2

-1/r2

t = 1/r dr = dt

Ponendo si ha dt/dr = e sostituendo nella

(10) otteniamo bdt

∓

ϕ =

d − + − 2 2

1 2

at b t

2° SOSTITUZIONE

b2t-a a)/b2 ds/b2

s = t = (s + dt =

Ponendo si ha e sostituendo si

ottiene ds

∓

ϕ =

d − −

2 2 2

a b s

3° SOSTITUZIONE

s

=

z

Ponendo e sostituendo si ottiene infine

−

2 2

a b −

2 2

dz a b dz

∓ ∓

ϕ = =

d − − − −

2 2 2 2 2 2

a b z ( a b ) 1 z

che è un integrale immediato e fornisce

ϕ ϕ

= +

arccos z 0

φ

dove la costante di integrazione può essere posta uguale a zero con una opportuna

0

φ cosz = cos(-z).

scelta della misura dell'angolo , e il doppio segno sparisce perché

Si ha quindi, sostituendo al contrario fino a tornare alla variabile iniziale z 2

b − a

−

2

s b t a r

ϕ = = = =

arccos z arccos arccos arccos

− − −

2 2 2 2 2 2

a b a b a b 4

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2

b − a

r

ϕ =

cos −

2 2

a b

 

2

b

 

− a

 

r

ϕ = arccos  

2 2

−

a b

 

 

ϕ = f r

( )

che è appunto la funzione del tipo che volevamo ottenere.

4. L'ELLISSE IN COORDINATE POLARI

Data una ellisse con

semiassi a b semi

e e

distanza focale

= −

2 2

c a b

immaginiamo che un

pianeta, per esempio la

terra, si trovi nel fuoco

F e un satellite si trovi

1

invece in un generico

P

punto dell'ellisse.

Si ha (applicando il

teorema di Carnot) =



F P r

 1

 ϕ

 = + −

2 2

F P r 4 c 4

rc cos

2

+ =

Ma deve anche essere e perciò

2

F P F P a

1 2 ϕ

+ + − =

2 2

r r 4

c 4

rc cos 2

a

isolando il radicale, elevando al quadrato e semplificando si ottiene

2

b ϕ

= − ⋅

a c cos

r

che è facile constatare come sia perfettamente identica alla ultima relazione

incorniciata del paragrafo precedente. V

Quindi la traiettoria descritta da un satellite avente velocità è una ellisse i cui

a b c

parametri e possono essere calcolati ricorrendo alle formule precedenti. 5

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Domandiamoci però

come avremmo dovuto

cambiare il

procedimento se il

pianeta si fosse trovato

F invece che

nel fuoco 2

F

nel fuoco .

1

Dalla figura si può

vedere che con un

procedimento analogo si

ottiene

 π ϕ ϕ

= + − − = + +

2 2 2 2



F P r 4 c 4

rc cos( ) r 4

c 4

rc cos

1



 =

F P r

2

e l'equazione dell'ellisse diviene in questo caso

2

b ϕ

= + ⋅

a c cos

r

con un solo segno diverso.

5. CONCLUSIONI SULLA TRAIETTORIA

massa m velocità V un pianeta di

Quindi un corpo nello spazio, avente e rispetto ad

massa M, descrive una traiettoria data dalla equazione polare

ε

− 2

a

(

1 )

=

r ε ϕ

−

1 cos ϕ

e = c/a per l'ellisse, >1 per l'iperbole)

dove è l'eccentricità (<1 e l'angolo non

α

va confuso con l'angolo (vedi figura seguente).

In altre parole la traiettoria è sempre una ellisse o una iperbole a seconda che

l'energia totale E (espressa dalla formula vista all'inizio) sia negativa o positiva: nel

primo caso il satellite è prigioniero del campo gravitazionale del pianeta, e descrive

ciclicamente sempre la stessa traiettoria; nel secondo caso invece il campo

gravitazionale del pianeta riesce soltanto a deviare il satellite dalla sua direzione

iniziale. nulla,

Nel caso che tale energia E sia dalla espressione ricavata dal principio di

conservazione dell'energia si ottiene (nel caso che il pianeta sia la terra e quindi

massa della terra)

sostituendo ad M la ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−

11 24

2

GM 2 6

,

67 10 5

,

98 10 m

= = = =

V 11200 40287 km h

sec

⋅ 6

r 6

,

37 10

che rappresenta la velocità di fuga, cioè la velocità che deve avere un razzo perché

riesca a liberarsi dal campo gravitaziona