Teoria completa di Algebra delle matrici

Matrici

• Introduzione

Def: Fissati un campo K e due numeri interi positivi m ed n, dicesi MATRICE ad elementi in K, una tabella A costituita da m·n (m,n) elementi del campo, disposti ordinatamente lungo m linee orizzontali (RIGHE) ed n linee verticali (COLONNE). Gli elementi di A si indicano con una lettera dotata di due indici, il cui primo indica la riga ed il secondo la colonna di appartenenza dell'elemento. Ad esempio a_ij indica l'elemento della matrice A che occupa la i-esima riga e la j-esima colonna.

Una matrice A si indica con:

A = (_{a11 a12 ... a1m})   (a₂₁ a₂₂ ... a_2n)     ...   (a_m1 a_m2 ... a_mn)

Una matrice A ad m righe ed n colonne è detta di tipo m x n o (m,n) e in forma compatta si indica con: A = (a_ij) con i=1,2,...,m e j=1,2,...,n a secondo del numero di righe e colonne. Es.               ⎛1 -2 0 3 1⎞       A = ⎜-3 0 2 3^1/2 π⎟               ⎝-1 0 0 1 e⎠

A è di tipo 3 x 5 o (3,5). L'elemento di A, a₂₃, si trova all'incrocio tra la seconda riga e la quarta colonna, cioè 2^1/2. a₁₅ = 1, a₃₁ = -1

Se il numero di righe m e il numero di colonne n sono diversi, cioè m≠n, si ha una matrice rettangolare.

Matrici

Introduzione

Def.: Fissati un campo K e due numeri interi positivi n ed m, dicesi , una tabella A costituita da n·m (n*m)elementi del campo disposti ordinatamente lungo n linee orizzontali () ed m linee verticali ().Gli elementi di A si indicano con una lettera dotata di due indici,di cui il primo indica la riga ed il secondo la colonna di appartenenzadell'elemento. Ad esempio a_ij indica l'elemento della matrice Ache occupa la i-esima riga e la j-esima colonna.

Una matrice A si indica con:

A = ( a₁₁ a₁₂ ... a_1m ) ( a₂₁ a₂₂ ... a_2m ) ( ... ... ... ... ) ( a_m1 a_m2 ... a_mn )

Una matrice A ad m righe ed m colonne è detta di tipo m x n (m,n)e in forma compatta si indica con: A = (a_ij) con i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2, ..., m a secondo del numero di righe e colonne.

Es.A = ( 1 -2 0 3 1 ) ( -3 0 2 √3 π ) ( -1 0 0 1 e )

A è di tipo 3 x 5 (3,5). L'elemento di A, a_2,4, si trovaall'incrocio tra la seconda riga e la quarta colonna, cioè √3; a_1,5 = 1; a_3,1 = -1

Se il numero di righe m e il numero di colonne m sono diversi, m ≠ n si ha una .

Matrici particolari

Se m = n la matrice è detta quadrata di ordine n. Es.

A₃ =\(\begin{pmatrix}-1 & -2 & 0 \\3 & 0 & 2 \\-1 & 0 & 0 \\\end{pmatrix}\)

A è una matrice quadrata di ordine 3.

L'insieme di tutte le matrici reali di tipo m x n si indica con il simbolo K^m,n o \(\mathbb{R}_{m,n}(k)\).

L'insieme di tutte le matrici reali di tipo n = m, cioè quadrate, si indica con il simbolo K^n,n o \(\mathbb{R}_n(k)\).

Una matrice di tipo 1 x n o (1,n) è detta vettore o matrice riga, essendo formata da una sola riga. Es.

A₁⁵ =\(\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 1 & e \\\end{pmatrix}\) matrice 1 x 5 o (1,5)

Una matrice di tipo n x 1 o (n,1) è detta matrice colonna, essendo formata da una sola colonna Es.

A₃¹ =\(\begin{pmatrix}1 \\-3 \\-7 \\\end{pmatrix}\) matrice 3 x 1 o (3,1)

In una matrice di tipo m x n, se si vuole indicare solo una determinata riga, si può usare il simbolo y avanti l'indice che indica la colonna presa in considerazione. Invece, per indicare solo un colonna si usa il simbolo c.

Es. Considerando il primo esempio nella prima pagina:

y₁ =\(\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & 3 & 1 \\\end{pmatrix}\) ; c₂ =\(\begin{pmatrix}-2 \\0 \\0 \\\end{pmatrix}\)

Matrici Uguali.

Def: Due matrici reali (con elementi appartenenti ad un corpo K=reali) dello stesso tipo m x m, A = (a_i,j) e B = (b_i,j), si dicono Uguali se hanno uguali tutti gli elementi corrispondenti, cioè: (per ogni) i, j = 1, 2, ..., m si ha a_i,j = b_i,j. Devono essere uguali gli elemen