Lezioni e esercizi, Analisi matematica TB

Indice 1

Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Equazioni dierenziali

1 Equazioni dierenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili . 2

2 Equazioni dierenziali del primo ordine lineari . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Equazioni dierenziali lineari del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . 5

4 Equazioni dierenziale e numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Numeri complessi 12

3 Equazioni dierenziali lineari del II ordine a coecienti costanti

5 Caso omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6 Caso non omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

... ..... ..... ...... ..... ..... ..... . 14

4 Topologia di n

R

7 Limiti in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

n

R

8 Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

9 Estremanti relativi e derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Funzioni da n

R aR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Funzioni da n m

R aR . ..... ..... ...... ..... ..... ..... . 26

7 Curve e traiettorie ..... ..... . 27

8 Estremanti vincolati e moltiplicatori di Lagrange

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9 Campi vettoriali e lavoro

... ..... ..... ...... ..... ..... ..... . 33

10 Integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

11 Integrali tripli . . . . . . . . . . . . 38

12 Integrali in senso generalizzato di una variabile

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

13 Serie

1

2 Sezione 1

Analisi matematica T-B

1 Equazioni dierenziali

1 Equazioni dierenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili

Siano a: continua dove intervallo e b: continua

Denizione 1. I ! I !

R R J R

dove intervallo; e siano e Una soluzione del problema di Cauchy

J R t I x J.

o 0

x

_ = a(t)b(x)

(PC) x(t ) = x

0 0

è una funzione dove tale che:

1 I

'C (H ; R) t H

0

8tH

_

' (t) = a(t)b('(t))

'(t ) = x

0 0

Se è soluzione del (PC). Infatti, se pongo

Nota 2. b(x ) = 0 '(t) = x(t) = x '(t) = x

0 0 0

avrei e

'

_ (t) = a(t)b('(t)) = a(t)b(x ) = 08tI '(t )=x

0 0 0

Trovare la soluzione del problema di Cauchy

Esempio 3. _ =

x t x

= 0

x(0)

= 08tR

Solution. x(t) Trovare la soluzione del problema di Cauchy

Esempio 4. 2

x

_ = x

x(0) = 1

= 1e = ; = 0x = 1 = = =

Solution. Ho che per e ho Se pongo che

2

a(t) b(x) x t I J R. x '(t)ho

0 0

_

'(t)

_ (t) = (t) = 1 quindi

2 )

' ' 2 Z Z

' (t) _ (s)

t t

' ds= 1ds)

(s)

2

'

t t

0 0

Z _ (s)

t '

= ds

¡

t t

0 (s)

2

'

t

0

= du = _ (s)dse )

ponendo ho gli estremi integrazione diventano

0

u '(s) ' d '(t e'(t):

0

Z Z

'(t) '(t)

du du 1 1

'(t)

= = = = + 1)

¡ ¡ ¡

t t

0 2 2

u u u '(t)

'(t ) 1 1

0 1 1

= = =

)1 ¡ ¡

t t t) '(t)

0 1 ¡

'(t) t

tale equazione diverge per t=1, quindi, avendo scelto la condizione iniziale in t=0

= [¡1; 1)

scelgo come dominio cui la funzione è denita l'intervallo

' H R

2

Equazioni differenziali 3

1

=

Figura 1. '(x) ¡

1 x

Teorema 5. di esistenza di almeno una soluzione del (PC)

x

_ = a(t)b(x) dove

x(t ) = x

0 0

aC(I ; R); t I R; bC(J ; R); x J R.

0 0 tale che

Se sono così denite allora è

1

9H

a; t ; b; x ; I ; J I ; t H e 'C (H ; R) '

0 0 0

soluzione del (PC) Caso con in tal caso è soluzione

Dimostrazione. b(x ) = b('(t )) = 0; '

0 0

dell'equazione dierenziale cioé 8t

x

_ = a(t)b(x) '

_ (t) = a(t)b('(t)) H

'

_ (t) ma se ho che è soluzione

, 8t 8t

I = a(t) b('(t )) = 0 '(t) = x I.

0 0

b('(t))

Infatti ho che Nel caso generale, invece,

'

_ (t) = 0 = a(t)b('(t)) = a(t)b(x ) = 0:

0

ho che è soluzione dell'equazione dierenziale cioé

' x

_ = a(t)b(x) '

_ (t) =

R R

t t

'

_ (t) '

_ (s)

8t , 8t, 8t

a(t)b('(t)) H I = a(t) ds = a(s)ds H

b('(t)) t b('(s)) t

0 0

abbstanza piccolo da avere Se pongo ho

8t

I b('(t)) =

/ 0 H. u = '(s) du =

gli estremi integrazione diventano

0

'

_ (s)dse d '(t ) e'(t):

0

Z Z Z

t '(t) '(t)

'

_ (s) du du

ds= =

b('(s)) b(u) b(u)

t '(t ) x

0 0 0

R R

'(t) t

du

e se chiamo ho A(t) e A(t) è una quantità

('(t)) = ('(t)) = a(s)ds=

x b(u) t

0 0

nota che posso calcolare, per cui, dato che per le ipotesi così calcolata è

('(t))

invertibile mi posso ricavare soluzione di (PC)

¡1 8tH I.

'(t) = (A(t))

3

4 Sezione 1

Tale teorema, però, non mi dice quante soluzioni ho, infatti esistono

Nota 6. '(t)

(PC) aventi le ipotesi del teorema appena enunciato che hanno più soluzioni, ma

raorzando le ipotesi si può enunciare il teorema di unicità della soluzione del (PC):

con intervallo; con intervallo;

Se ho

Teorema 7.

t I R I x J R J aC(I ;

0 0

il problema di Cauchy (PC)

1

R) ebC (I ; R); x

_ = a(t)b(x)

x(t ) = x

0 0

ha una e una sola soluzione con

!

'(t): H R H I:

Ciò vuol dire che se ho dove

Nota 8. ! !

' : H Re ' : H R H H I ;

1 1 2 2 1

sono ho che

1

8tH \

H H I e ' e ' C H ' (t) = ' (t).

2 1 2 1 2 1 2

2 Equazioni dierenziali del primo ordine lineari Siano

Denizione 9. di soluzione di un'eqauzione lineare del primo ordine.

intervallo.

dove Una soluzione dell'equazione

a C(I ; R) e b C(I ; R) I R '

dierenziale del primo ordine lineare (EL) è una funzione 1

x

_ + a(t)x = b(t) 'C (I ;

tale che 8tI

R) '

_ (t) + a(t)'(t) = b(t).

Si nota che nel caso di equazioni dierenziali lineari la soluzione

Importante 10.

è denita su tutto l'intervallo su cui sono deniti i coecienti.

Si dice integrale generale (IG) di (EL)

Denizione 11. di Integrale generale.

l'insieme soluzione di 1

f': ¡!

I R: ' (EL)g C (I ; R)

Siano intervallo e Una funzione è

Teorema 12. 1

I R a; bC(I ; R): xC (I ; R)

soluzione di tale che

,9x

(EL) R

0 Z t

¡A(t) ¡A(t)

A(s)

x(t) = e e b(s)ds+e x 0

t 0

R t

dove e è ssato

A(t) = a(s)ds t I

0

t

0

g

_ g

_

So che e vorrei avere che è

Dimostrazione. (x g)_ = x

_g +xg_ = g x

_ + x = a(t)

g g

un'equazione dierenziale del primo ordine a variabili separabili e la posso risolvere

ottenendo Z Z R

t t t

g

_ a(s)ds A(t)

dt= a(s)ds) g = e = e

t 0

g

t t

0 0

e da (EL) moltiplicando entrambi i membri per ottengo

A(t)

e

A(t) A(t) A(t) A(t) A(t) A(t)

) )

e (x

_ + a(t)x) = e b(t) e x

_ + e a(t)x = e b(t) e b(t) =

d da cui ottengo

A(t)

[e x]

dt Z Z

t t d

A(s) A(s)

e b(s)ds= [e x(s)]ds

ds

t t

0 0

4

Equazioni differenziali 5

e per il teorema fondamentale del calcolo integrale posso scrivere

Z t A(s) A(s) t A(t) A(t )

¡

e b(s)ds= [e x(s)] = e x(t) e x(t )

0 0

t 0

t

0

e quindi, ponendo (in quanto posso sceglierlo arbitrariamente) e ricavando

A(t ) = 0

0

x(t) ottengo

Z Z

t t

¡A(t) ¡A(t)

A(s) A(s)

x(t) = e x(t ) + e b(s)ds = e x + e b(s)ds

0 0

t t

0 0

Si può osservare che, ovviamente, la soluzione del problema di cauchy

Nota 13. x

_ + a(t)x = b(t)

x(t ) = x

0 0

h i

R t

è proprio ¡A(t) A(s)

x(t) = e x + e b(s)ds

0 t

0

Se l'equazione si dice omogenea e ha

Nota 14. b(t) = 08tI x

_ + a(t)x = b(t) = 0

h i h i

R R

t t

soluzione ¡A(t) ¡A(t)

A(s) A(s)

) )

x(t) = e x + e b(s)ds x(t) = e x + e 0ds

0 0

t t

0 0

con cioè l'integrale generale dell'equazione lineare omogenea

¡A(t)

x(t) = e x x R,

0 0

del primo ordine è

x

_ + a(t)x = 0

Z t

IG(ELO) ¡A(t)

¡!

= x: I R: x(t) = x e ; x R; A(t) = a(s)ds

0 0 t 0

3 Equazioni dierenziali lineari del secondo ordine

di soluzione di un'equazione dierenziale lineare del secondo

Denizione 15.

ordine. Sia intervallo e Una soluzione dell'equazioni dif-

I R a; b; f C(I ; R):

ferenziale lineare del secondo ordine (EL2) è una funzione

x

+ a(t)x

_ + b(t)x = f (t)

tale che

2 8tI

'C (I ; R) '

(t) + a(t)'

_ (t) + b(t)'(t) = f (t)

Si può osservare che la soluzione è denita su tutto l'intervallo I.

Nota 16. '(t)

di equazione omogenea associata. Si dice equazione omogenea

Denizione 17.

associalta (EL2O) dell'equazione dierenziale lineare del secondo ordine (EL2)

l'equazione z

+ a(t)z

_ + b(t)z = 0

L'insieme è uno spazio vettoriale (analogamente a

Importante 18. 2 1

C (I ; R) C (I ;

e ciò vuol dire che se si ha che

2 2

R) e C(I ; R)) '; C (I ; R) ' + C (I ; R);

_

e

(' + )_ = '

_ + (' + ) = '

+

La somma di due funzioni è una funzione, cioè è la funzione

Nota 19. ' +

Inoltre se ho allora

2 2

8tI.

(' + )(t) = '(t) + (t) 'C (I ; R) ekR k'C (I ; R) ek'

è la funzione e quindi La stessa cosa non

(k')(t) = k'(t) (k')_ = k'

_ e (k') = k'

.

può esser detta per il prodotto tra le funzioni. Posso immaginare, quindi, come

2

C (I)

uno spazio vettoriale in cui è la funzione costante 0. La dimensione di

2 2

0C (I) C (I)

è innita.

5

6 Sezione 1

sono soluzione dell allora

Se

Teorema 20. 0

2 2

' C (I ; R) e ' C (I ; R) (EL2O) k ' +

1 2 1 1

è soluzione di (EL2O) 8k

k ' ; k R.

2 2 1 2

Voglio dimostrare che

Dimostrazione. k '

+ k '

_ a(t) + k ' b(t) + k '

+

1 1 1 1 1 1 2 2

e so che

k '

_ a(t) + k ' b(t) = 0 k '

+ k '

_ a(t) + k ' b(t) = k ('

+ '

_ a(t) +

2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1

e

0=0 0=0

' b(t))=k k '

+ k '

_ a(t) + k ' b(t) = k ('

+ '

_ a(t) + ' b(t))=k

1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

e quindi k ('

+ '

_ a(t) + ' b(t))+k ('

+ '

_ a(t) + ' b(t))=k 0 + k 0 = 0

1 1 1 1 2 2 2 2 1 2

Si dice integrale generale IG(EL2)C l'insieme delle soluzio-

Denizione 21. 2 (I)

nidi (EL2).

Se allora

Nota 22. ' IG(EL2O) e ' IG(EL2O) ek ; k R k ' + k ' IG(EL2O).

1 2 1 2 1 1 2 2

IG(EL2O) è un sottospazio vettoriale di

Proposizione 23. 2

C (I).

allora

Se è soluzione di (EL).

Teorema 24. 'IG(EL2O) e IG(EL) ' + IG(EL)

allora

Se ¡

; IG(EL) IG(EL2O):

1 2 1 2

con

Se ' IG(EL ) e ' IG(EL ) (EL ): x

+ a(t)x

_ + b(t)x = f (t) e (EL ): x

+

1 1 2 2 1 1 2

con

e se

a(t)x

_ + b(t)x = f (t) k ; k R)k ' + k ' IG(EL ) (EL ): x

+ a(t)x

_ +

2 1 2 1 1 2 2 3 3

b(t)x = k f (t) + k f (t) = f (t):

1 1 2 2 3

Voglio dimostrare che

Dimostrazione. (' + ) + (' + )_a(t) + (' + )b(t) = f (t)

_

e so che e e quindi

'

+ '

_a(t) + 'b(t)=0 + a(t) + b(t) = f(t) (' + ) + (' +

_

)_a(t) + (' + )b(t) = '

+ + '

_a(t) + a(t) + 'b(t)+ b(t) = ('

+ '

_a(t) + 'b(t)) +

¡

_

+ a(t) + b(t) = (0) + (f (t)) = f(t).

Voglio dimostrare che e so che

¡ ¡ ¡

( ) + ( )_a(t) + ( )b(t) = 0

1 2 1 2 1 2

_ _

e e quindi ¡

+ a(t) + b(t) = f (t) + a(t) + b(t) = f (t) ( ) +

1 1 2 2 2 1 2

_ _

¡ ¡ ¡ ¡ ¡

( )_a(t) + ( )b(t) = + a(t) a(t) + b(t) b(t) =

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

¡ ¡

_ _

¡ ¡

+ a(t) + b(t) + a(t) + b(t) = (f (t)) (f (t)) = 0.

1 1 1 2 2 2

Voglio dimostrare che k '

+ k '

_ a(t) + k ' b(t) + k '

+ k '

_ a(t) + k ' b(t) =

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

ma so che

k f (t) + k f (t) = f (t) k '

+ k '

_ a(t) + k ' b(t) = k ('

+ '

_ a(t) +

1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1

e e

' b(t)) = k f (t) k '

+ k '

_ a(t) + k ' b(t) = k ('

+ '

_ a(t) + ' b(t)) = k f (t)

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

quindi k ('

+ '

_ a(t) + ' b(t))+k ('

+ '

_ a(t) + ' b(t))=k f (t) + k f (t) = f (t)

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 3

con intervallo sia

Siano

Teorema 25.

a; bC(I) I R e (EL2O) z

+ a(t)z

_ + b(t)z =

allora IG(EL2O) ha dimensione come sottospazio vettoriale di 2

0; 2 C (I).

Dobbiamo capire cosa vuol dire che IG(EL2O) ha dimensione 2, e dobbiamo

dimostrare, quindi, che esistono 2 funzioni (vettori) linearmente indipendenti in

IG(EL2O) ma non ne esistono 3.

6

Equazioni differenziali 7

Si dice che n funzioni sono linearmente indipendenti

Denizione 26. f ; f ; ::::::; f

1 2 n

se si ha che

8k ; k ; ::::; k R k f + k f + :::::: + k f = 0,k = k = :::::: = k = 0

1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n

Si dice che n funzioni sono linearmente dipendenti

Denizione 27. f ; f ; ::::::; f

1 2 n

se tali che e

9k 9k

; k ; ::::; k R k f + k f + :::::: + k f = 0 ; k ; ::::; k =

/ 0.

1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n

Vericare se sono linearmente indipendenti:

Esempio 28. 2

(t) = te (t) = t

1 2

Cioè devo vericare che 2

8k ; k Re8tR; k (t) + k (t) = k t + k t = 0,k =

1 2 1 1 2 2 1 2 1

Fisso ed ho che, se è un assurdo; se

)

k = 0: k ; k R k =

/ 0ek = 0 k t = 08t

2 1 2 1 2 1

è un assurdo, per cui

2 2

)

k = 0ek =

/ 0 k t = 08t k t + k t = 0,k = k = 0

1 2 2 1 2 1 2

con

Se

Teorema 29.

a; b C(I) I

intervallo allora esiste una una sola soluzione al problema di

2

R e t I e 'C (I)

0

Cauchy (PC) 8

< z

+ a(t)z

_ + b(t)z = 0

(PC) z(t ) = x

0 0

: z

_(t ) = x

_

0 0

sono ssati:

dove x ; x

_ R

0 0 Del teorema 25. Divido in due parti la dimostrazione, nella prima

Dimostrazione.

parte dimostro che esistono almeno 2 soluzioni linearmente indipendenti dell'equ-

zioni lineare omogenea del secondo ordine, mentre nella seconda parte dimostro che

le soluzioni sono al più 2. >

Parte I: dimostro che Dim(IG(EL2O)) trovo, cioè, due soluzioni linearmente

2,

indipendenti, e per far questo scelgo tali che:

' e '

1 2

Sia soluzione del con

' (PC) x(t ) = 1e x

_(t ) = 0

1 0 0

Sia soluzione del con

' (PC) x(t ) = 0e x

_(t ) = 1

2 0 0

e verico che siano linearmente indipendenti, cioè verico in che caso k ' + k ' =

1 1 2 2

con Se voglio allora anche

8t

0 k ; k R. k ' (t) + k ' (t) = 0 (k ' (t) + k ' (t))_(t) =

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

Mi metto nel caso di ed ottengo:

0)k '

_ (t) + k '

_ (t) = 0. t = t

1 2 0

1 2

k ' (t) + k ' (t) = k ' (t ) + k ' (t ) = k 1 + k 0 = 0,k = 0

1 1 2 2 1 1 0 2 2 0 1 2 1

k '

_ (t) + k '

_ (t) =k '

_ (t ) + k '

_ (t ) = k 0 + k 1=0,k = 0

1 2 1 0 2 0 1 2 2

1 2 1 2

e quindi sono linearmente indipendenti in quanto per cui l'(EL2O) ha

k = k = 0

1 2

almeno 2 soluzioni. 6

Parte II: dimostro che Dim(IG(EL2O)) e lo faccio dimostrando che

2

tutte le funzioni che compongono l'integrale generale di (EL2O) possono essere

generate come combinazione lineare di due soluzioni di (EL2O): mostro che

con soluzione del con

8'IG(EL2O) 9k ; k R: ' = k ' + k ' ' (PC) x(t ) =

1 2 1 1 2 2 1 0

e soluzione del con Per cui ho

1e x

_(t ) = 0 ' (PC) x(t ) = 0e x

_(t ) = 1. '(t ) =

0 2 0 0 0

e

k ' (t ) + k ' (t ) = k 1 + k 0 = k '

_ (t ) = k '

_ (t ) + k '

_ (t ) = k 0 +

1 1 0 2 2 0 1 2 1 0 1 0 2 0 1

1 2

e sapendo che una combinazione lineare di soluzioni di (EL2O) è ancora una

k 1 = k

2 2

soluzione di (EL2O) posso scrivere una terza soluzione di (EL2O) ='(t )' (t) +

0 1

IG(EL2O) che è, però, pari a

'

_ (t )' (t) ='(t )' (t) + '

_ (t )' (t) = k ' +

0 2 0 1 0 2 1 1

per cui tutt