Lezioni: Appunti di Analisi e Geometria I

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Aggiornato il 15/04/2026

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Appunti di Analisi e geometria per l'esame del professor Boella sulle successioni: Definizione di successione. Successioni limitate e monotone. Limite di una successione; successioni regolari e …

Esame Analisi e geometria I

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Boella Marco Ugo Claudio

Università Politecnico di Milano

A.A. 2013-2014

86 pagine

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Estratto del documento

Successioni

Definizione:

Una successione è una legge che associa a ogni m ∈ IN un numero reale a_m

f: IN → IR f: m → a_m = f(m)

Indico un m → a_m o {a_m}

Masseggioccia { }: → gli elementi di una successione costituiscono un insieme di numeri reali, {a_m} ⊂ IR

Talvolta l’insieme di m per i quali la successione è definita iniziano da un intero m₀cioè f: {m ∈ IN | m ≥ m₀} → IN(la cosa non ha alcuna rilevanza, a noi interessa il comportamento di {a_m} al crescere di m)

Grafico:

è costituito dall’insieme dei punti (m, a_m)

es. grafico di {¹/_m}

Successioni

Definizione:

Una successione è una legge che associa a ogni m∈N un numero reale a_m

f: N → IR
f: m → a_m = f(m)

Indico un m →a_m o {a_m}

Assegnazione: { } → Gli elementi di una successione costituiscono un insieme di numeri reali, {a_m} ⊂ IR.

A talvolta i valori di m per i quali la successione è definita iniziano da un intero m₀ (cioè f: {m∈N ∣ m ≥ m₀} → N)

La cosa non ha alcuna rilevanza, a noi interessa il comportamento di {a_m} al crescere di m.

Grafico: è costruito dall'insieme dei punti (n, a_m)

Es. grafico di {1/m}

• limitatezza

Una successione {a_n} si dice

superiormente limitatase ∃ M∈R tale che ∀m sia a_m ≤ M
inferiormente limitatase ∃ m∈R tale che ∀m sia a_m > m
limitatase è limitata sia sup. che inf.

1-DEFINITIVAMENTE

DEF Diciamo che la successione {a_n} possiede DEFINITIVAMENTE una certa proprietà P se esiste un intero N_P ∈ N in tale che a_m soddisfi ∀m>N_P

es. La succ. { 1/n² } è definitivamente minore di 0,1 (m ≥ 1 000,1)

• Successioni CONVERGENTI

Def Si dice che la successione {a_n} tende al limite finito L se:∀ε>0 ∃m_ε∈N tale che ∀m>m_ε sia |a_m - L| ≤ ε(in questo caso si dice che {a_n} è CONVERGENTE)

si scrive lim m→∞ a_m = L

ogni succ. convergente è limitata

DEFINIZIONE METTEZZA DI LIMITE FINITO

perché l'unico punto di accumulazione di IN è +∞

l'unico passaggio al limite lecito è quello per m → +∞,

dunque potremmo soddisfacentemente scrivere

oppure

lím am=L

am →L se ∀ε∃σ risulta definitivamente |am-L|0 ∃mk∈IN tale che ∀m≥mk sia am >k

(-∞) ∀K>0 ∃mk∈IN tale che ∀m≥mk sia am< -k

{am} si dice DIVERGENTE a +∞ (o a -∞)

si scrive lím am = +∞ lím am = -∞

possiamo dire anche qui:

am → +∞ se ∀K>0 risulta definitivamente am >k
am → -∞ se ∀K>0 risulta definitivamente am < -k

DEFINIZIONE METRICA DI LIMITE INFINITO

• successioni irregolari

vi sono succ che non ammettono limite!

def. una succ. {a_m} che non sia né convergente né divergente,

cioè per la quale non esista lim a_m né finito

m→∞ né infinito

si dice irregolare

es. {(-1)^m} e {sen m²}

la circostanza di risultare

convergente

divergente

irregolare

costituisce il carattere

della succ. {a_m}

definizione topologica di limite

le definizioni metriche di succ. convergente e

divergente possono essere condensate in

un'unica definizione che si poggi sul concetto

di intorno

— adottiamo introdotto la "retta reale estesa" R̅ = R ∪ { +∞, -∞ }

— ogni "intorno di +∞" è l'intervallo (a, +∞)

quindi

def. sia L∈IR, a_m→L

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