Geometria e combinatoria, Matrici, proprietà, operazioni e trasposizione

MATRICI

Consideriamo una matrice A(m;n) con m righe ed n colonne, ovvero di tipo m×n

indica un coefficiente generico nella i riga e j colonna :

esempio: SCRIVERE UNA MATRICE A(2;3) = (a_ij = 2i - j)

a₁₁ = 2×1 - 1 = 1 a₁₂ = 2×1 - 2 = 0 a₁₃ = 2×1 - 3 = -1

a₂₁ = 2×2 - 1 = 3 a₂₂ = 2×2 - 2 = 2 a₂₃ = 2×2 - 3 = 1

fissato il fattore m e il fattore n, si definisce il seguente insieme:

M(m;n;) = insieme di tutte le matrici reali del tipo m×n ; infiniti elementi

e anche M(m;n;) = numeri interi positivi e M(m;n;) = frazioni

AGGIUNTA TRA MATRICI DELLO STESSO TIPO

A(m;n) = a_ij B(m;n) = b_ij

si definisce una seguente matrice somma

A+B:=(a_ij + b_ij) di tipo (m×n)

esempio: per

questo concetto introduce le tabelle di matrici

MATRICI

Consideriamo una matrice A(m;n) con m righe ed n colonne, ovvero di tipo m×n

A_(m;n) =

(a₁₁ a₁₂ a₁₃ a_1n) (a₂₁ a₂₂ a₂₃ ... a_2n) (a₃₁ a₃₂ a₃₃ ... a_3n) (a_n1 a_n2 a_n3 ... a_mn)

dove (a_ij) indica un coefficiente generico nella i riga e j colonna ∈ ℜ

_i = 1, 2, 3 ... m _j = 1, 2, 3 ... n

esempio: scrivere una matrice A_(2;3) = (a_ij = 2i - j)

• a₁₁ = 2×1 - 1 = 1
• a₁₂ = 2(1) - 2 = 0
• a₁₃ = 2(1) - 3 = -1
• a₂₁ = 2(2) - 1 = 3
• a₂₂ = 2(2) - 2 = 2
• a₂₃ = 2(2) - 3 = 1

A_(2;3) = (1 0 -1) (3 2 1)

Fissato il fattore m e il fattore n, si definisce il seguente insieme:

ℳ(m;n;ℜ) = insieme di tutte le matrici reali di tipo m×n ; ∞ elementi

e anche ℳ(m;n;ℕ) = numeri interpositivi e ℳ(m;n;ℚ) = frazioni

Addizione tra matrici dello stesso tipo

A_(m;n) = a_ij   B_(m;n) = b_ij si definisce una seguente matrice somma

A + B := (a_ij + b_ij) di tipo (m×n)

esempio: per A_(3;2) = (5 -6) (2 6) (3 2)

B_(3;2) = (-7 12) (1 0) (5 0)

A + B = (5+(-7) 4+12) (-6+10 1+6) (2+5 3+0)

A + B := (-2 16) (4 7) (7 3)

questo concetto introduce le tabelle di matrici

proprietà fondamentali addizione tra matrici

1) ASSOCIATIVA: ∀ A, B, C ∈ ℳ(m,n) → (A+B)+C = A+ (B+C)

ottengo matrice equivalente

2) ESISTENZA DELL'ELEMENTO NEUTRO: esiste la matrice nulla O_(m,n) = ^{0 0 ... 00 0 ... 0} tale che aggiunta a qualsiasi altra matrice, noncambia nulla.

3) ESISTENZA DELL'ELEMENTO OPPOSTO: esiste per ogni matrice A con elementigenerici a_ij la matrice opposta -A_(m,n) := (-a_ij) tale che quando sommiamo A + (-A) = 0

4) COMMUTATIVA: ∀ A, B, C ∈ ℳ(m,n): A + B = B + A

L'insieme (ℳ(m,n)) è un gruppo additivo commutativo

MOLTIPLICAZIONE DI MATRICI PER UN NUMERO SCALARE

Siano A_(m,n) = a_ij ∈ ℂ e r ∈ ℝ si definisce il loro prodotto e la matrice(r⋅A)_(m,n) := (r⋅a_ij)

esempio: A = ^{4 -25 3} C = 4

4⋅A_(3,2) = ^{4⋅4 (-2)⋅45⋅4 3⋅4} → 4A_(3,2) = ^{16 820 12}

PROPRIETÀ FONDAMENTALI GENERALI

5) ASSOCIATIVA, moltiplicazione matrice scalare:∀ C, d ∈ ℝ ∀ A_(m,n) : (c⋅d)⋅A oppure(c⋅d)⋅A

6) DISTRIBUTIVA rispetto alla addizione:∀ C ∈ ℝ ∀ A, B ∈ ℳ(m,n) : c⋅(A+B) = (C⋅A) + (C⋅B)

7) DISTRIBUTIVA rispetto alla addizione tra scalari:∀ C, d ∈ ℝ ∀ A_(m,n) : (C+d)⋅A = (A⋅C) + (A⋅d)

8) ESISTENZA ELEMENTO NEUTRO 1 RISPETTO LA MOLTIPLICAZIONE TRA SCALARI∀ A_(m,n) : 1 ⋅ A = A