Geometria - Appunti

Determinanti e matrici invertibili

n°, righ edet A B A det B, det kA det A() = det() = k. Dipendenza lineare. Sia V uno spazio lineare e v, vi vettori di V.

Combinazione lineare

w è combinazione lineare di v₁, …, v_n se l’equazione:

x₁v₁ + x₂v₂ + · · · + x_nv_n = w ammette soluzione.

⊆ mR Nel caso particolare in cui V, alla precedente equazione possiamo associare la matrice A|b, dove le colonne di A sono date dai vettori v₁, ..., v_n e b è data dal vettore w. In tale caso:

w è combinazione lineare di v₁, ..., v_n se rg(A) = rg(A|b).

Linearmente indipendenti

v₁, …, v_n sono linearmente indipendenti se l’equazione:

x₁v₁ + x₂v₂ + … + x_nv_n = 0 ammette la sola soluzione nulla x₁ = x₂ = ... = x_n = 0.

⊆ mR Nel caso particolare in cui V, alla precedente equazione possiamo associare la matrice A|0, dove le colonne di A sono date dai vettori v₁, ..., v_n. In tale caso: v₁, ..., v_n sono linearmente indipendenti se rg(A) = n (nell’E.G. posso cambiare righe, se cambio le colonne bisogna ricordarsi del cambio se voglio una base).

Matrice invertibile

Una matrice (quadrata) A è invertibile se esiste una matrice, indicata con A^-1, tale che AA^-1 = A^-1A = I. Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice quadrata A sia invertibile è che sia det(A) ≠ 0, ovvero che rg(A) sia massimo. Una matrice n × n è invertibile se e solo se ha rango n.

Calcolo dell'inversa di una matrice

• Si affianca alla matrice A la matrice identica e si riduce A a gradini in forma normale (cioè con tutti 1 sulla diagonale e 0 altrove). La matrice in cui è stata trasformata la matrice identica è l’inversa.
• Si utilizzano le formule: A^-1 = (1/detA) * (complemento algebrico).

Calcolo del rango di una matrice

Per calcolare il rango di una matrice possiamo utilizzare i sottodeterminanti oppure i pivot. Infatti valgono le seguenti proprietà:

• Il rango di una matrice A corrisponde al massimo ordine di una sua sottomatrice (quadrata) con determinante non nullo.
• Il rango di una matrice A corrisponde al numero dei suoi pivot, una volta che A è stata ridotta a gradini.
• Il rango di una matrice A è uguale al numero di righe/colonne linearmente indipendenti.

Osservazioni

• Come conseguenza delle proprietà 3), si ha che se A è una matrice n × m, allora rg(A) ≤ min{m, n}.
• Per utilizzare la proprietà 1), si può anche ridurre (parzialmente) a gradini la matrice.