Analisi matematica I - il teorema di Fermat

Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat

Definizione

Sia f(x) una funzione reale definita in un intervallo [a, b] e x ∈ [a, b]. Si dice che x è un punto di massimo relativo o locale per f(x) se esiste un intorno I(x₀) di x₀ tale che ∀x ∈ I(x₀) ∩ [a, b], f(x) ≤ f(x₀). Analogamente si dice che x è un punto di minimo relativo o locale se esiste un intorno I(x₀) di x₀ tale che ∀x ∈ I(x₀) ∩ [a, b], f(x) ≥ f(x₀). Un punto x ∈ [a, b] che sia un punto di massimo relativo o un punto di minimo relativo si dice un punto di estremo relativo o anche un punto di estremo locale.

Osservazioni

Si noti che nella definizione di massimo relativo non si richiede che la disuguaglianza f(x) ≤ f(x₀) sia verificata in tutto l'intervallo [a, b] ma solo in un opportuno intorno I(x₀) di x₀. Evidentemente se f(x) ≤ f(x₀) ∀x ∈ [a, b] allora x è un punto di massimo e f(x₀) è il massimo di f(x). Analogo discorso vale per i punti di minimo relativo.

I punti di minimo e di massimo della funzione f, per distinguerli dai punti di estremo relativo, si chiamano punti di minimo assoluto e massimo assoluto. Si noti che: un punto di estremo assoluto è anche un punto di estremo relativo. Ma tale implicazione non si inverte.

Teorema di Fermat (condizione necessaria di estremo relativo)

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a, b] e supponiamo che f(x) abbia in un punto x₀ ∈ [a, b] un estremo relativo. Valgono le seguenti implicazioni:

• x interno ad [a, b] ⇒ f'(x₀) = 0 se f derivabile in x₀

Dimostrazione

Supponiamo, per fissare le idee, x₀ punto di massimo relativo per f(x). Ciò significa che esiste un intorno I(x₀) di x₀ tale che f(x) ≤ f(x₀) ∀x ∈ I(x₀) (*).

Per l'ipotesi 1), in I(x₀) cadono sia punti di [a, b] minori di x₀ sia punti di [a, b] maggiori di x₀ e quindi, essendo in virtù di (*), abbiamo:

• se x < x₀, f'(x) ≤ 0
• se x > x₀, f'(x) ≥ 0

Passando al limite per x → x₀^- e x → x₀⁺, si ottiene f'^-(x₀) ≤ 0 e f'⁺(x₀) ≥ 0; combinando i due risultati, si conclude che f'(x₀) = 0. La tesi segue dall’ipotesi 2) che implica derivabilità in x₀.

Osservazione 1

Si noti che: se f'(x₀) = 0 con x₀ ∈ (a, b) non implica che x₀ sia un punto di estremo relativo.

Ad esempio, la funzione f(x) = x³ ha f'(x) = 0 in x = 0, ma sappiamo che f è strettamente crescente in R e quindi sprovvista di estremo relativo.

Osservazione 2

Si noti che, dal punto di vista geometrico, il teorema di Fermat afferma che nei punti di estremo relativo che sono interni ad un intervallo, la tangente al diagramma è parallela all’asse x.

Osservazione 3

Si noti che il teorema di Fermat non vale se il punto x₀ di estremo relativo non è interno all’intervallo [a, b].

Ad esempio, se x₀ = b e x₀ è un punto di massimo relativo, è possibile considerare solo il limite sinistro di f in b e, ripetendo lo stesso ragionamento della dimostrazione del teorema, si ottiene: f'^-(b) ≥ 0 ⇒ f'(b) = 0.

Teoremi di Rolle e di Lagrange

I due teoremi che ci accingiamo a dimostrare sono detti teoremi fondamentali del calcolo con le derivate.

Teorema di Rolle

Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo compatto [a, b], derivabile nei punti interni ad [a, b]. Se f(a) = f(b), esiste un punto interno ad [a, b] tale che f'(x) = 0. In altri termini, vale la seguente implicazione:

• 1) f continua in [a, b]
• 2) f derivabile in (a, b)
• 3) f(a) = f(b) ⇒ ∃ x ∈ (a, b): f'(x) = 0

Dimostrazione

Per il teorema di Weierstrass, che vale in virtù dell’ipotesi 1), f(x) ha in [a, b] minimo e massimo. Ciò significa che:

• ∃ x₁, x₂ ∈ [a, b] tali che f(x)₁ ≤ f(x) ≤ f(x)₂ ∀x ∈ [a, b]

Se f(x)₁ = f(x)₂, è evidente che la funzione f è costante in [a, b] e il teorema di Rolle è certamente vero; quindi si ricordi che la derivata di una costante è nulla.

Se, per l’ipotesi 3), almeno uno dei due punti x₁ o x₂ è interno ad [a, b]. Se, per esempio, x₁ è interno ad [a, b], allora, essendo un punto di estremo assoluto, è anche un punto di estremo relativo nel quale f è derivabile per l’ipotesi 2). Dal teorema di Fermat si deduce che f'(x₁) = 0 e il teorema di Rolle è completamente dimostrato.

Osservazione 1

Se consideriamo il diagramma di una funzione f che verifica l’ipotesi del teorema di Rolle, allora questo teorema afferma che esiste almeno un punto c del diagramma, distinto dagli estremi a e b, in cui la tangente geometrica è parallela all’asse x.

Osservazione 2

La continuità di f(x) negli estremi dell’intervallo [a,b] è indispensabile.

Consideriamo, ad esempio, la funzione:

• f(x) = x se x ∈ [0,1)
• f(x) = 0 se x = 1

Tale funzione è derivabile in [0,1) ma non è continua in [0,1] perché nel punto 1 ha una discontinuità eliminabile, essendo: lim_x→1 f(x) = 1 ≠ f(0) = 0. Inoltre, f(0) = f(1) = 0, ma essendo tale funzione non verifica la tesi del teorema di Rolle.

Teorema di Lagrange

Se f(x) è una funzione continua nell’intervallo compatto [a,b] e derivabile nei punti interni ad [a,b], esiste un punto interno ad [a,b] tale che:

f(b) - f(a) = f'(x₀) × (b - a)

Questa uguaglianza si chiama formula di Lagrange.

Dimostrazione

Consideriamo la funzione ausiliare:

g(x) = f(x) - f(a) - [f(b) - f(a)]/(b - a) × (x - a)

La quale, geometricamente, rappresenta la differenza tra le ordinate del punto P del diagramma e del punto Q della retta congiungente gli estremi A = (a,f(a)), B = (b,f(b)) aventi la stessa ascissa.

Si verifica facilmente che g(a) = g(b) = 0. D’altra parte g è continua in [a,b], derivabile in (a,b), quindi:

g'(x) = f'(x) - [f(b) - f(a)]/(b - a)

Ne segue, per il teorema di Rolle, che esiste un punto x₀ ∈ (a,b) tale che g'(x₀) = 0. Ma ciò equivale a dire che esiste un punto:

f(b) - f(a) = f'(x₀) × (b - a)

Il teorema è dimostrato.

Conseguenze notevoli del teorema di Lagrange

Sappiamo che ogni funzione costante in un intervallo è derivabile ed ha derivata identica zero.