Analisi matematica I - i limiti e continuita'

Esercizi

Esercizio 1

Mostrare, utilizzando la definizione ε - δ, che esistono i seguenti limiti:

• lim _x→2 (x+1)/(x−1) = 3,
• lim _x→0⁺ √x+1/√x = +∞,
• lim _x→+∞ (x+√x) = +∞,
• lim _x→−∞ √x²−1/x = −1.

Esercizio 2

Determinare gli eventuali valori di a, b ∈ ℝ che rendono la funzione

f(x) := { sin x, x < π/2; ax² + b, x ≥ π/2 } continua su tutto ℝ.

Esercizio 3

Determinare gli eventuali valori di a, b ∈ ℝ che rendono la funzione

f(x) := { −2 sin x, x < −π/2; a sin x + b, −π/2 ≤ x < π/2; cos x, x ≥ π/2 } continua su tutto ℝ.

Esercizio 4

Determinare gli eventuali valori di x₀ ∈ ℝ che rendono la funzione

f(x) := { x + 1, x < x₀; 0, x = x₀; x² − 2x − 1, x ≥ x₀ } continua su tutto ℝ.

Esercizio 5

Data la funzione

f(x) := x² − 1/x − 1, x ∈ ℝ\{1},

dire se è possibile definirla anche in x₀ = 1 di modo tale che risulti continua su tutto ℝ.

Esercizio 6

Dire se la funzione

f(x) := { √1+x² − 1/x², x ≠ 0; 1/2, x = 0 } è continua su tutto ℝ.

Esercizio 7

Sia f : [0, 2] → ℝ tale che f(x) > 0 per x > 1, f continua in [0,1∪[1,2]]. Per ciascuna fra le seguenti proposizioni mostrare se è vera oppure fornire un controesempio: