Analisi matematica 1 - Derivabilità

Derivabilità

Definizione

Si definisce il rapporto incrementale di \( f \) relativo a \( x_0 \) come:

\[ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]

Si dice che \( f \) è derivabile in \( x_0 \) se:

\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]

esiste ed è finito e si indica con \( f'(x_0) \) oppure \( \frac{df}{dx}\Big|_{x=x_0} \).

Osservazione

Posto \( h = x - x_0 \), il limite diventa:

\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]

Esempi

• Funzioni costanti: \(\forall f(x) = c, x \in \mathbb{R}\)
  • \(f'(x) = 0\).
• \(f(x) = x\)
  • \(f'(x) = 1\), calcolato come:

    \[ \lim_{x \to x_0} \frac{x - x_0}{x - x_0} = 1 \]

• \(f(x) = \sin x\)
  • \(f'(x) = \cos x\), calcolato come:

    \[ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \cos x \]

• \(f(x) = x^2\)
  • Sia \(x \in \mathbb{R}\), calcoliamo:

    \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = 2x \]