Analisi matematica 1 - Appunti

TEOREMA BOLZANO - WEIERSTRASS

E = { a_n, n ∈ N }

Se ... è una succ. limitata allora ammette una sottosucc. convergente (fai monotona crescente battue intera)

Esempio 1 a_n = (-1)ⁿ ⇒ E = { a_n, n ∈ N } = {-1, 1} elementi assul-della succ.

a_n = sin (n) ⇒ E = { sin (n) / n ∈ N } = si immane ... di vetorei inflovsi.

€ ... ... numito della ...

T.E.O.

∃ k_n: N → N

sin (k_n) → l

k_n ⬆

LAVORO OPERATO SUI N.M.1

Dim

{ a_n } à limitata ⇒ ∃ a, b: a_n ∈ [a, b]

E = { a_n, n ∈ N } ∃ b C [a, b]

Eserc 1 ... ... c'è di proci.... finito ... ...

... ...b... ...a

m ⤑ d_n, ... solu limitata

⇒ ∃ k_n ⬆

α_m ⊆ E: α_kn = α_m0 infinile veritoadier... di allerali limit (R).

{ a_nm } ⊆ { a_n }a_nm = d_m0 costante ⇒ a_kn → α_m0

Teorema (Bolzano-Weierstrass)

E = { a_n, m ∈ N }

Se è una succ. limitata allora ammette una

sottosucc. convergente (se monotona converge tutta intera).

Esempio 1

a_n=(-1)ⁿ ⇒ E = { a_n, m ∈ N } = {-1,+1} elementi a due a due

a_n=sin(n)^m ⇒ E = { sin(n)^m / m ∈ N } = { } insieme dei vettori infinitesimi

Teo.

∃ k_m: N → N

sin(k_m) → l

Dim

{a_n} è limitata => ∃ a,b : a_n∈[a,b]

E = { a_n, m ∈ N } ∃ E ⊂ [a,b]

Esercizio 1

E è un insieme finito che

contiene un numero finito di punti: { a₁,…,a_m }

L_N - ⇨ a_n { L_I = [y,...,z] }... ⇨ a

m ⇨ d_n sv sono limitati

=> ∃ ↗ k_m

α_m∈E : k_m → α_m0 : infiniti indici cadono

definizione successiva { a_nj } ⊂ { a_n } a_nj = d_m0 : costante => a_km → α_m0

Ipotesi: an monotona

1. se an è mont. cresc. e illimitata sup. ⇒ a_n → +∞ _n→∞
2. se an ¬ è limitata sup. ⇒ a_m → sup {a_n, m∈N} _n→∞
3. a_n analoga

→ logaritmo in base e = ln

ln_e ⋅ log_e x in (0,+∞) ↑

• Corollario

  1. se a_n è monotona e limitata allora a_n è convergente
  2. Se a_m monotona + ∃ _{akn} a_kn → l ⇒ a_m → l _{{k→∞}^j→∞}

Prop 2:

a_m → l ⟺ ∀ _{akm} {a_nj: a_km → l _{j→∞}}

Dim 1: {a_m} è limitato ⇒ E={a_m, m∈N}

inf_E e l > -∞ sup_E = L < +∞

• a_m ↑ ⇒ a_m → L
• a_m ↓ ⇒ a_m → l

Dim 2: {a_m} ∉_urn ┌────┐ = +∞

a_m → l (sup {a_m, m∈N})

∃ a_km l_s dalla prop. 2 l=l

a_km⇀+ + ∞ a_k⇀+