Analisi Matematica 1 - Appunti

Insiemi e numeri

Insieme x ∈ X ← maiuscolax ∉ X ← minuscola

Insiemi di numeri

• N naturali
• Z interi relativi
• Q razionali
• R reali
• C complessi

Insieme "ambiente" sottoinsieme proprio A ⊂ X

Improprio A ⊆ X "un senso debole"

Logica booleana

Insieme NON VUOTO X A = X

Diagrammi di Venn "rappresentazione grafica"

Definizioni di insiemi

Come scriviamo un insieme? A = { x, y, z } elementi

• { 1, 2, 3, 4 }
• { 3, 1, 2, 4 }
• { x, y, z, w } è lo stesso che { y, z, w, x }

NON dipende dall'ordine

Come faccio a scrivere { x, y, z, ... } infinito-ti elementi

A = { x ∈ ℝ / x ∈ (- ∞, 10) } NON COSÌ

A \ { 0 } PROPRIETÀ CARATTERISTICA P(x) A = { x ∈ X : P(x) }

A = { 0, 1, 2, ..., 10 }

A = { x ∈ ℕ / x ≤ 10 } numeri naturali

{ x ∈ X | } t.c. 'tale che'

Predicato Logico p(x) = 'x ≤ 10'

Insieme delle parti

"Collezione" P(x) di tutti i sottoinsiemi di X

X = {1, 2, 3, 4} P(X) = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}

4 elementi 2⁴ combinazioni di 4 elementi

2⁴ sottoinsiemi

Generalizzando n elementi: 2ⁿ sottoinsiemi 2ⁿ-2 sottoinsiemi propri 2ⁿ - 1

P(x) ha "Cardinalita" A = {1, 2} P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} 2²

Complementare

C_A = { x ∈ X : x ∈ X x ∈ X t.c. "tale che" x ∈ X s.t. "such that" C_A = { x ∈ X t.c. x ∉ A }

C_XA   C_AC_XA "rispetto ad X"

1. C_XX = Ø
2. C_XΦ = X
3. C(C_XA) = A

Intersezione di due insiemi

A ∩ B = {x ∈ X : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

∧ prodotto vettoriale in geometria

ε un connettivo logico "Claudio Canuto è bello e bravo" la proposizione ε vera "SE E SOLO SE" Canuto ε sia bello sia bravo

Tabella di verità

AND Prodotto Logico 1 • 0 = 0 0 • 1 = 0 0 • 0 = 0 1 • 1 = 1

1. Proposizione "Canuto ε bello"
2. Proposizione "Canuto ε bravo"

1^a 2^a ∧ V F F F V F F F V V F F

Unione di due insiemi

A ∪ B = {x ∈ X s.t. (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

“proposizione logica” "V", _or, "oppure" "Connettivo Logico" "Camuto è bravo oppure bello"

La proposizione è falsa "SE e solo SE" Camuto è scarso e pure brutto!

Tabella di verità OR

1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 0 + 1 = 1 0 + 0 = 0

1ª 2ª V V V V F V F V V F F

Proprietà dell'unione e dell'intersezione

i) Proprietà booleane A ∩ C_A = ϕ A ∪ C_A = X

ii) Proprietà commutativa "gli insiemi considerati sono comunque A e B" A ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A

iii) Proprietà associativa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Distributiva (a+b)·c = a·c + b·c

La proprietà distributiva riguarda DUE operazioni diverse

Analogia

Assocciamo a VERO il valore "1" e a FALSO il valore "0" 1 e 0 nel "Sistema Binario"

• V F 1 + 0 = 1
• 0 + 1 = 1
• 0 + 0 = 0 Somiglia tanto all' "unione", all'OPPURE "L'OR è una somma logica"
• 1 + 1 = 1 V F 1 · 0 = 0
• 0 · 1 = 0 0 · 0 = 0 Somiglia tanto all' "intersezione", all' E "L'AND è un prodotto logico"
• 1 · 1 = 1

Ritorniamo alla proprietà distributiva (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (a + b) . c =