Analisi 1 (algebra e geometria) - appunti del corso

NUMERI COMPLESSI

C=insieme

composti da una parte reale e da una parte immaginaria.

i=unità immaginaria

i tale che i² = -1

numeri complessi sono uno strumento per risolvere problemi reali quando il metodo risolutivo in ambito reali non è possibile.

es. x²+x+1=0

Δ=1-4·1·1<0 non ha soluzioni

questo è il motivo storico! Un'equazione di secondo grado dovrebbe sempre avere due soluzioni!

x²+x+1=0

x_1,2= _-1±√-3⁄²

=-_1±√(3)i⁄²

=-_{1±i&radic(3)}⁄²

Def.: z∈C se ∃x,y∈R | 2: x+iy

z:=x+iy

x moltiplicata per

l'unità reale

y moltiplicata per

l'unità immaginaria

x=parte reale di z → x=Re(z)

y=parte immaginaria di z → y=Im(z)

• se y=0 → z∈R
• se x=0 → z∈Im (immaginario puro)

I NUMERI COMPLESSI

C. insieme

composti da una parte reale e da una parte immaginaria

√-1 unità immaginaria i tale che i² = -1

I numeri complessi sono uno strumento per risolvere problemi reali quando il metodo risolutivo in ambito reale non è possibile!

es. x² + x + 1 = 0 Δ = 1 - 4 < 0 non ha soluzioni

questo è il motivo storico (un'equazione di secondo grado dovrebbe sempre avere due soluzioni!)

^x/₂ = ^{-1 ± √3}/₂ -1 ± (√³/₂)

Def:

z ∈ C ∃ x, y ∈ R | z = x + y

z = x + y

x moltiplicato per l'unità reale

y moltiplicato per l'unità immaginaria

x: parte reale di z → x = Re(z)

y: parte immaginaria di z → y = Im(z)

• se y = 0 ⇒ z ∈ R
• se x = 0 ⇒ z ∈ Im (immaginario puro)

I numeri complessi sono quindi un'estensione dei numeri reali

Operazioni con i numeri complessi

• Addizione z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i (y₁ + y₂)
• Sottrazione z₁ - z₂ = (x₁ - x₂) + i (y₁ - y₂)
• Moltiplicazione z₁ · z₂ = (x₁ + i y₁) (x₂ + i y₂) = = x₁ x₂ - y₁ y₂ + i x₁ y₂ + i y₁ x₂ = = x₁ x₂ - y₁ y₂ + i (x₁ y₂ + x₂ y₁)

Il coniugato

z = x + iy, sup z = x - iy (parte immaginaria opposta)

z · sup z = x² + y² ∈ ℝ (anche ritornare sempre sull'asse x)

z + sup z = 2x, 2x ∈ Re(z)

z - sup z = 2iy, 2i Tm(z)

Re(z) = ^{z + sup z}/₂, Tm = ^{z - sup z}/_2i

2z: (x+i y)(x-iy) • x^2-i^2y^2 = x^2+y^2

x = arg(z)

|z| = √x^2+y^2

12|z| = è la distanza di z dall'origine d(2,0) tutti i punti che hanno |z|=1, stanno sulla circonferenza con centro l'origine e raggio unitario se z ∈ R → |z|=|z| (senza Pitagora) valore assoluto distanza da zero modulo: generico estensione di valore assoluto

N.B. √x^2+y^2 non può mai essere una differenza e sempre positivo

DIVISIONE

z_1z2 = x₁+iy₁ / x₂+iy₂

Dobbdamo renderlo reale in modo da poter fare

a+ib / c = a/c + b/c

Si deve razionalizzare

z_1z2 = x₁+iy₁ / x₂+iy₂ — x₂-iy₂ / x₂-iy₂ = z₂/^z̅₂ |z₂|² a numero reale strettamente positivo (D≠0)

RADICE QUADRATA

i² = -1 √i = ?

Sappiamo che √₁ = 1 e √x²=|x| (solo il quadrato!!!) la dicitura √₁ = ±1 e √x² = ±x è errata perché indica un'insieme di soluzione, e vale solo em le equazioni.

Com'i numeri complessi bisogna esaltare em'insieme di numero proprio come nelle equazioni √i =?

√₂ = insieme team numero W∈C / W² = z

√-1 = ±i

Ma tornando a √i, come si prosegue? SI deve creare W² +W²+ W² / W² z (√_a, z₁+ z₂)

W² = z

(W₁ + W₂)² = z₁ + z₂

W₁² + 2W₁W₂ + W₂² = z₁ + z₂

W₁² + 2iW₁W₂ - W₂² = z₁ + i z₂