Vari esercizi di Elettrotecnica

G

s

grado di approssimare il comportamento di un generatore ideale di corrente. Pertanto, una caratteristica desiderabile per

il generatore di corrente è che la resistenza parallelo sia la più grande possibile.

Generatori Indipendenti di Tensione e di Corrente Pagina 5 di 24

3. Parallelo e serie di generatori di tensione

3.1 Collegamento parallelo

Generatori reali

Sia dato il sistema di figura 8: Fig. 8 – Collegamento parallelo generatori reali di tensione

vogliamo trovare il bipolo equivalente al parallelo dei tre generatori di tensione, il bipolo, cioè, che inserito tra i morsetti

A e B fa sì che si abbia la medesima tensione e la medesima corrente ai morsetti A e B.

A tal fine scriviamo l’espressione della tensione ai morsetti A e B percorrendo uno alla volta i rami 1, 2 e 3 che collegano

il nodo A con il nodo B. ̅

+ = ̅

+ = ̅

+ =

da cui ̅

=− + ̅

=− + ̅

=− +

̅ ̅ ̅

dividiamo la prima equazione per , la seconda per e la terza per

=− +

̅ ̅

=− +

̅ ̅

=− +

̅ ̅

sommiamo membro a membro ed otteniamo

+ + =− − − + + +

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

1 1 1

+ + =− + + !+ + +

̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅

Generatori Indipendenti di Tensione e di Corrente Pagina 6 di 24

scriviamo ora l’equazione al nodo A + + = "

e quindi, sostituendola, si ha 1 1 1

+ + =− + + !+

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ "

da cui + +

̅ ̅ ̅ "

=− + 1

1 1 1 1 1

+ + + +

̅ ̅

̅ ̅ ̅ ̅

+ +

̅ ̅ ̅ 1

=− +

1 1 1 1

1

1 "

+ + + +

̅ ̅ ̅ ̅

̅

̅ ⁄

$ %

# = ', =Ω

il primo termine al secondo membro ha le dimensioni di una tensione il secondo di un’impedenza ,

⁄

% %

per cui indichiamo con + +

̅ ̅ ̅ 1

̅

= + =

1 1 1 1 1 1

) )

+ + + +

̅ ̅ ̅ ̅ ̅

̅

ed abbiamo ̅

=− +

) ) "

questa è l’equazione della calcolata nel seguente sistema

Fig. 9 – Generatore equivalente

Infatti ̅

+ =

) ) "

Generatori Indipendenti di Tensione e di Corrente Pagina 7 di 24

da cui ̅

=− + ,. . ..

) ) "

Cioè, ai fini dei morsetti A e B, che ci sia il parallelo dei tre generatori o che ci sia questo solo generatore è equivalente,

abbiamo così determinato il generatore equivalente del parallelo costituito da tre diversi generatori.

Questo generatore equivalente ha quindi una f.e.m. pari a + +

̅ ̅ ̅

= 1 1

1

) + +

̅ ̅ ̅

e ricordando che 1

/0 = ̅

possiamo scrivere /0 /0 /0

+ +

= /0 /0 /0

) + +

ed un’impedenza serie pari a 1

̅ = 1 1 1

) + +

̅ ̅ ̅

Se poniamo attenzione alla f.e.m., possiamo dire che questa f.e.m. è la media ponderata con peso le ammettenze

equivalenti del ramo in cui è inserita la f.e.m.

Quanto finora detto si compendia nel teorema di Millman: il parallelo di più generatori reali di tensione equivale ad un

unico generatore reale di tensione la cui f.e.m. è pari alla media ponderata delle singole f.e.m. con peso le ammettenze

equivalenti del ramo e la cui impedenza serie è il parallelo delle impedenze equivalenti di ciascun ramo.

È importante notare che nel nostro caso tutte le f.e.m. sono concordi tra di loro, ma se così non fosse allora come si

procede?

Generatori Indipendenti di Tensione e di Corrente Pagina 8 di 24

Ipotizziamo di avere un sistema come quello di figura 10

Fig. 10 - Collegamento parallelo generatori reali di tensione

quindi ̅

+ = ̅

− = ̅

+ =

da cui ̅

=− + ̅

=+ + ̅

=− +

̅ ̅ ̅

dividiamo la prima equazione per , la seconda per e la terza per

=− +

̅ ̅

=+ +

̅ ̅

=− +

̅ ̅

sommiamo membro a membro ed otteniamo

+ + =− + − + + +

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

1 1 1

+ + =− + + !+ + +

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

scriviamo ora l’equazione al nodo A + + = "

Generatori Indipendenti di Tensione e di Corrente Pagina 9 di 24

e quindi, sostituendola, si ha 1 1 1

+ + =− − + !+

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ "

da cui − +

̅ ̅ ̅ "

=− +

1 1 1 1 1

1 + + + +

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

− +

̅ ̅ ̅ 1

=− +

1 1 1 1 1

1 "

+ + + +

̅ ̅ ̅ ̅ ̅

̅

− +

̅ ̅ ̅ 1

̅

= + =

1 1 1 1 1 1

) )

+ + + +

̅ ̅ ̅ ̅ ̅

̅ /0 /0 /0

− +

= /0 /0 /0

) + +

1

̅ = 1 1 1

) + +

̅ ̅ ̅

ed abbiamo ̅

=− +

) ) "

e questa è la medesima equazione che fornisce la per il circuito di figura 9.

In pratica se facciamo attenzione ci accorgiamo che la ottenuta è diretta concordemente alla ed alla ed è discorde

)

rispetto alla . In pratica quando abbiamo un parallelo fra generatori di tensione diretti discordemente l’uno dall’altro,

e questa sarà sempre la media ponderata però saranno positive le f.e.m.

dobbiamo prima scegliere il verso della )

concordi al verso da noi scelto e negative le f.e.m. discordi.

Generatori Indipendenti di Tensione e di Corrente Pagina 10 di 24

Esempio: si abbia il sistema di figura 11 e si voglia calcolare il generatore equivalente al parallelo dei due generatori

Fig. 11

Fig. 12

se scegliessimo come equivalente il generatore di fig. 12a) avremmo

/0 /0

− +

= /0 /0

) +

1

̅ = 1 1 1

) + +

̅ ̅ ̅

se invece scegliessimo come equivalente il generatore di fig. 12b) avremmo

/0 /0

+ −

= /0 /0

) +

1

̅ = 1 1 1

) + +

̅ ̅ ̅

Generatori Indipendenti di Tensione e di Corrente Pagina 11 di 24

In conclusione quindi /0

∑ ± 1

"34 ̅

3 3

= =

/0 1

) )

∑ "34 ∑ "34

3 ̅

3

Riprendiamo le equazioni scritte per il circuito di figura 9 ̅

+ = ̅

+ = ̅

+ =

il nostro circuito è poi stato sostituito dal circuito equivalente di figura 10 per il quale abbiamo

̅

+ =

) ) "

con /0 /0 /0

+ + 1

̅

= =

/0 /0 /0 1 1

1

) )

+ + + +

̅ ̅

̅

scrivendo ora l’equazione alla maglia in verso orario abbiamo

̅ ̅

= +

) ) "

da cui ricaviamo la e, di conseguenza, otteniamo la

" ̅

=− +

) ) "

nota la tensione, facilmente abbiamo = +

̅ ̅

= +

̅ ̅

= +

̅ ̅

ed infine = + +

"

Generatori Indipendenti di Tensione e di Corrente Pagina 12 di 24

Riprendiamo la figura 8 Fig. 8 – Collegamento parallelo generatori reali di tensione

a questo circuito abbiamo sostituito l’equivalente di fig. 9

Fig. 9 – Generatore equivalente

ottenendo così un’unica maglia; ci chiediamo se sia possibile sostituire al circuito di fig. 8 un equivalente costituito da un

solo bipolo aperto. Per fare ciò ipotizziamo di inserire nel ramo “n” un generatore di f.e.m. nulla, come riportato in figura

13 Fig. 13

Generatori Indipendenti di Tensione e di Corrente Pagina 13 di 24

Chiaramente l’inserimento della f.e.m. nulla non comporta alcuna variazione del regime elettrico ed applichiamo quindi

Millman tra i nodi A e B, abbiamo

/0 /0 /0 0 /0 /0 /0 0/0 /0 /0 /0

+ + + / + + + + +

" " "

= = =

/0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0

) + + + + + + + + +

" " "

̅

la non ci interessa perché, essendo un bipolo aperto, non circola corrente e quindi che l’impedenza ci sia o meno non

)

ha alcuna importanza.

Il bipolo equivalente è quindi Fig. 14 - Bipolo equivalente

da questo bipolo otteniamo + =0

)

=− )

una volta nota la = +

̅ ̅

= +

̅ ̅

= +

̅ ̅

ed infine = + +

"

il vantaggio consiste nel non dover scrivere più l’equazione alla maglia per ricavare e dopo la per determinare

"

infine le correnti nei rami del sistema.

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Nota

Il Teorema di Millman è applicabile a tutte le reti elettriche, in corrente continua o alternata, purché siano reti binodali,

vale a dire reti costituite da n rami tutti derivati da due nodi. La sua formulazione deriva da un caso particolare del metodo

di risoluzione di reti elettriche conosciuto come potenziale ai nodi.

Il teorema afferma che:

la tensione ai capi del bipolo della rete è data dal rapporto tra la somma algebrica delle correnti di corto circuito dei

singoli rami e la somma delle ammettenze sempre di ogni ramo.

/0 /0 /0 0

+ + + ⋯ + /

" "

= /0 /0 /0 /0

) + + + ⋯ + "

In quest'ultima espressione si capisce perché nell'enunciato del teorema si afferma somma algebrica delle correnti di

infatti l'espressione al numeratore della formula qui sopra definisce le correnti nei vari

corto circuito dei singoli rami:

rami se ciascuno di essi fosse cortocircuitato (vale a dire se fossero collegati in cortocircuito i nodi A e B).

8 8

le f.e.m. degli generatori di tensione e le correnti degli generatori di corrente.

Siano 7 7

̅ 8

Siano le impedenze equivalenti degli rami senza generatori.

3

̅ 8

Siano le impedenze equivalenti degli rami con i generatori di tensione.

7

̅ 8

Siano le impedenze equivalenti degli rami con i generatori di corrente.

Il teorema di Millman afferma che la tensione ai terminali del circuito è data da:

/0

∑ ∑

± + ± 1

"74 "74 ̅

7 7 7

= =

/0 /0 /0 /0

) )

∑ ∑ ∑ ∑

+ +

"74 "34 "74 "34

7 3 7 3

Generatori Indipendenti di Tensione e di Corrente Pagina 15 di 24

Componenti che non influenzano il teorema di Millman

Il teorema di Millman si può comunque applicare anche quando ci sono componenti in più che però non influenzano la

corrente entrante nei nodi tra i quali si sta applicando il teorema. I casi sono, vedasi figura seguente

impedenza in parallelo ad un generatore di tensione appartenente ad un lato Thevenin trasformabile;

 impedenza che unisce due rami contenenti entrambi un generatore di tensione;

 impedenza in serie ad un generatore di corrente.



Dimostrazione la generica corrente che scorre nel generico ramo della figura di pagina 15, in base alla legge di

Indicando con 93

Kirchhoff delle correnti la somma algebrica delle correnti entranti al nodo A è nulla.

+ + ⋯+ =0

9 9 9"

Supponiamo inizialmente che tutti i rami contengano un