Taylor

Simboli di Landau

• Diciamo che |f(x)| è un o-piccolo di g(x) per x→0 se lim_x→0 |f(x)|/|g(x)| = 0 in tal caso scriviamo f(x) = o(g(x)) per x→0
• f(x) va a 0 più velocemente di g(x)
• x² = o(x) per x→0
• x³ = o(x²) per x→0

Taylor

Rercorda

• f è derivabile in x₀ se e solo se f(x₀+h) = f(x₀) + f'(x₀)h + u(h)·h
• dove u(h)→0 _h→0
• f(x₀+h) = f(x₀) + f'(x₀)h + o(h)

Conveniamo vocali x = x₀ + h , h = x-x₀

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + o(x-x₀) per x→0 x₀

= eq. retta tg. al grafico in [x₀,f(x₀)]

Formula di Taylor con resto secondo Peano per funzioni derivabili

Se f è derivabile in x₀, allora

f(x) = (P_x0 φ)(x) + σ (x - x₀)

dove (P_x0 φ)(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

f(x) = e^x   x₀ = 0

e^x = e⁰ + e⁰ \* x + σ(x)   per   x → 0

e^x = 1 + x + σ(x)

\(\frac{{e^x - (1 + x)}}{x}\) → 0

Per funzioni derivabili 2 volte

f(x) = (P_x0 φ)(x) + σ ((x - x₀)²)   per   x → x₀

dove (P_''x0 φ)(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + f''(x₀) \(\frac{(x - x₀)^2}{2}\)

f(x) = e^x = 1 + x + \(\frac{x^2}{2}\) + σ(x²)   per   x → 0

Vanno bene entrambe, ma questa è più accurata perché ha un σ di 2º grado

() = ln(1+)

... x=0 0

'() = ¹/₁₊ = 1 per =0

''() = -¹/_(1+)² = -(1+)^-2 = -1 per =0

^'''() = 2/(1+)³ = 2 per =0

^(IV)() = -6/(1+)⁴ = -6 per =0

⁽ⁿ⁺¹⁾() = (-1)ⁿ (-1)! (1+)^- | = (-1)ⁿ⁺¹ (-1)!

ln(1+) = 0 + - ²/₂ + ^{2 3}/_3! - ^{6 4}/_4! + ... + (-1)^{m+1 (-1)! ()}/_! + σ(⁺¹)

ln(1+)=∑_k=0 (-1)^{k+1 k}/_k + σ()

()=(1+) con ∈ ℝ fisso

₀ = 0

() = 1 + |₌₀ = 1

'() = (1+)^-1 =

''()= (-1)/(1+)^2-2= (-1)

^(m+1)() = (-1)(-2)...[-(-1)]()^2- = (-1)...(-m+1)

(1+) = ∑_k=0 ⁽⁰⁾ /_! + σ()

= 1 + ∑

Nello sviluppo mi fermo quando ottengo

per x → 0

f.i o g.i o

f(0) = g(0) = 0

A, B ≠ 0

m, n ∈ ℕ

A/B

Nota:

devo fare lim_x→0 e lim_x→∞ e vedere se sono uguali

Esercizi

1. lim_x→0

   =

   =

   =

   = ^-1/₃ = -2

2. lim_x→0

   =

   =

   =

   = -1/3

3. lim_x→0

   =

   =

   =

   Num.

   Den.

   = 0/1 → 0

Lo posso lasciare o rimuovere