Sistemi Integrati di produzione

R C U

Definizione della posizione di riferimento PR X, YRZ*) :

per centri di lavoro a mandrino orizzontale:

XR  1/2 * corsa dell'asse X

YR  1/4 * corsa dell'asse Y a partire dal suo limite inferiore

ZR  posizione in cui il naso mandrino è sullo spigolo della tavola prossimo al

mandrino (nel caso di tavole rettangolari, il lato più lungo deve essere parallelo

all'asse X

per centri di lavoro a mandrino verticale:

Xp  1/2 * corsa dell'asse X

YR  1/2 * corsa dell'asse Y

ZR  1/2 * corsa dell'asse Z

Tempo cambio utensile t  2 t + t scambio

C U R C U

Tempo pallet 1

La teoria delle code

Sistemi a coda

Siano:

λ tasso di arrivo medio dei clienti nel sistema (deterministico)

μ tasso di servizio medio per cliente (deterministico)

μ >λ ⇒ Il cliente trova sempre il sistema vuoto e il server libero.

Tempi di interarrivo e tempi di servizio sono variabili  Il cliente può trovare il

server occupato e in questo caso deve attendere in coda finché esso non si libera.

λ >μ ⇒ Il sistema non e stabile (i clienti in arrivo trovano il server sempre

occupato e la coda cresce infinitamente)

Teoria delle code

Distribuzione degli arrivi

Discipline di priorità

Prestazioni delle code isolate

Intensità di traffico

quantità di servizio richiesto nellʼunità di tempo  UDT

l= λ  1/ μ = arrivi nellʼunità di tempo • tempo medio di servizio

Capacità del sistema

quantità di servizio che il sistema può produrre per UDT

C m = numero di servitori

La teoria delle code 1

Fattore di utilizzo

rapporto tra intensità di traffico e capacità del sistema

ρ= min [ l/C , 1  min [ λ /μm , 1

Il fattore di utilizzo si può interpretare anche come percentuale di servitori

mediamente occupata

Flusso uscente (throughput)

quantità di clienti che escono dal sistema per UDT

Nei casi più semplici (popolazione infinita e spazio dʼattesa infinito)

Th = min (λ, μm)= min ( flusso entrante, capacità massima del sistema)

Ciascun servitore può smaltire, infatti, al più μ clienti per UDT

Dal punto di vista del cliente...

Le misure di prestazione che interessano sono i valori medi e le deviazioni

standard delle variabili:

• tempo di attraversamento del sistema sn

• tempo di attesa in coda wn

• tempo di servizio tn

sn = wn + tn

Da un punto di vista aggregato...

Le grandezze di interesse sono i valori medi e le deviazioni standard di:

• il numero di clienti nel sistema, n(t)

• il numero di clienti in coda, q(t)

• il numero di clienti in servizio, ns(t)

Se il sistema ha capacità m, deve essere:

q(t) = max 0, n(t) - m)

Il teorema di Little

Stabilisce una relazione tra flusso in entrata, tempo di attraversamento e numero

di clienti compresi tra due confini specificati di un sistema a coda.

HP  tutto il sistema deve essere conservativo ⇒ non contiene ne pozzi ne

sorgenti

La teoria delle code 2

• il sistema deve essere stazionario

λE(s)=E(n)

λE(w)=E(q)

λE(t)=E(ns)

Il risultato non dipende dalla distribuzione degli arrivi e del tempo di servizio e

rimane valido qualunque sia la disciplina di servizio, purché conservativa.

DIM ( la prima relazione è valida almeno per le medie campionarie di n(t) e sn)

Siano:

n

(t) è il numero di clienti entrati nel sistema dallʼistante iniziale 0 at

a

n

(t) è il numero di clienti usciti dal sistema dallʼistante iniziale 0 a t [ dove nd(t) =

d

na(t) - n(t) ]

Per definizione:

λ = lim n (t)/t con t→∞ s= lim 1/N  Σs [da n=1 a N con N∞ n = lim

a n

1/t • ʃ n(u) du [da 0 a t] con t→∞

Consideriamo una particolare Quando un cliente Cj arriva nel sistema

realizzazione di un sistema a cosa in al tempo τj, na(t) si incrementa di 1.

un generico intervallo temporale e sia

T lʼistante in cui osserviamo il sistema.

La teoria delle code 3

Ciascun cliente Cj è rappresentato da

un rettangolo che inizia nel punto (τj, j),

ha lunghezza pari a tj e altezza pari a

1, quindi area pari a tj•1 tj

Introduciamo la funzione indicatrice 1 (t) tale che:

j

1 (t) = { 1 se il cliente Cj è nel sistema(se τj<t<τj +tj) / 0 altrimenti

j

Possiamo scrivere, allora: s

= ʃ 1 (t) dt [da 0 a ∞] n(t)= Σ 1 (t) [da j=1 a ∞]

j j j

∞ )

T T T na(T

In questo caso: ʃ n(u) du = ʃ Σ 1 (u) du = ʃ Σ 1 (u) du =

0 0 = 1 0 = 1

j j j j j

) )

na(T T na(T

Σ ʃ 1 (u) du = Σ s

= 1 0 = 1

j j j )

T na(T

Moltiplico per 1/T 1/T  ʃ n(u) du  1/T  Σ s

0 = 1

j j )

T na(T

e poi per 1 na(T)/na(T)  1/T  ʃ n(u) du = n T/T•n T  Σ s

0 = 1

a a j j

Se T ∞: n = λ s

Prestazioni

numero medio di clienti nel sistema: n = ρ/ 1-ρ

tempo di attraversamento (uso Little):

s = n/ λ  1/ μ(1-ρ)

numero medio di clienti in coda :

2

q = n - ρ= ρ / 1-ρ

tempo medio di attesa (uso Little):

w = q / λ = t n

tempo medio di servizio: t = s - w  1/μ

Reti di code

La teoria delle code 4

Si tratta di sistemi a coda con struttura a

rete, in cui più sistemi a coda isolata

concorrono allʼesecuzione del servizio

completo:

Si prestano a modellare contesti applicativi

che prevedono insiemi di moduli o elementi

tra loro interconnessi in modo che lʼinput di

ciascuno sia una combinazione degli output

degli altri.

Assi di classificazione:

Sistema chiuso vs. aperto (il numero di clienti che circolano nel sistema è fisso

vs. è una variabile random)

Blocking vs. non-blocking (i buffer sono finiti e, se il buffer a valle di un server

è pieno, il server a monte si blocca o i buffer sono infiniti e nessun server può

mai bloccarsi)

Distribuzione degli arrivi al sistema

Distribuzione dei tempi di servizio

Disciplina di servizio

reliable vs. unreliable server (affidabilità dei server inferiore a 1 o pari a 1

single class vs. multiple class (aggregazione dei parametri caratteristici dei

diversi tipi di cliente in un cliente rappresentativo o modellazione esplicita dei

diversi tipi di cliente del sistema)

routing dipendente vs. indipendente dallo stato del sistema (i clienti visitano i

server seguendo un percorso che dipende dallo stato del sistema o meno)

L'estensione della teoria delle code alle reti di code ha portato ai seguenti risultati:

- teoremi che consentono il calcolo esatto delle

prestazioni delle reti caratterizzate da distribuzione esponenziale dei tempi di

servizio e interarrivo

- metodi approssimati che consentono di valutare con discreta precisione le

prestazioni delle reti con caratteristiche generali

La teoria delle code 5

Prestazioni delle reti di code

flusso uscente dalla coda i-esima e dal sistema

utilizzo delle stazioni della rete

dimensione della coda i-esima, da intendersi come numero medio di clienti in

attesa o in servizio alla

coda i-esima

probabilità marginale: è la probabilità di trovare ni clienti

nella coda i-esima

tempo di attraversamento della coda i-esima e della rete

Reti di code e FMS

Le stazioni di lavoro e carico/scarico

e i trasportatori possono essere

modellati come code SS o MS o IS.

Le parti da produrre possono essere

aggregate in classi seguendo i principi

della Group Technology e

rappresentate da una parte standard

per classe di aggregazione

(una sola, e allora la rete è single class, o più di una, e allora la rete è multiple

class). La variabilità dei tempi di servizio assume allora il significato di

distribuzione dei tempi di lavorazione, carico/scarico e trasporto specifici per

ciascuna parte della classe considerata.

Il flusso uscente dal sistema coincide con il flusso uscente dalle stazioni di

scarico dei pallet.

Ipotesi:

rete di code chiusa (i pallet attrezzati che circolano nel sistema sono in

numero finito e costante)

non-blocking

distribuzione dei tempi di servizio esponenziale

La teoria delle code 6

(distribuzione degli arrivi esponenziale)

disciplina di servizio: FCFS

reliable server

single class

routing indipendente

 Semplifica “eccessivamenteˮ le dinamiche del sistema, ma permette di avere

una valutazione molto più accurata di quella che si ottiene con i metodi statici pur

richiedendo livello di complicazione computazionale e di modellazione contenuto.

La qualità del risultato è, quindi, coerente con lʼobiettivo di ridurre per stadi

successivi, attraverso lʼuso di strumenti via via più complessi e precisi, lʼinsieme di

alternative ammissibili fino a trovare lʼalternativa migliore.

Mean Value Analysis

Eʼ un efficiente algoritmo per lʼanalisi delle reti di code chiuse e la determinazione

dei valori medi dei parametri di prestazione:

-lunghezza delle code

-tempo di attraversamento

-flusso uscente

L'efficienza dellʼalgoritmo, tuttavia, si paga: la MVA, infatti, non permette di

calcolare la distribuzione di probabilità congiunta delle lunghezze delle code,

ovvero la distribuzione di probabilità degli stati possibili della rete.

Per i nostri obiettivi, comunque, i valori medi dei parametri di prestazione sono la

metrica di interesse.

Si basa sulle tre seguenti equazioni :

− 1 − 1

s N  μ + μ • n N1 è il tempo (medio) di attraversamento della

i i i i

stazione i-esima i

− 1 t

μ : tempo medio di servizio alla stazione i =

=

i K

XN N/ Σ V •s N è il flusso uscente dalla rete di code Th di Little

i i

applicato allʼintero sistema)

N popolazione della rete K numero stazioni nella rete V : probabilità di visita

i

alla stazione i

La teoria delle code 7

n N XN V •s N è il numero medio di clienti nella stazione i-esima

i i i accu

(compresi quelli in servizio) (Th di Little applicato alla stazione i-esima)

Le prestazioni della rete possono

essere determinate risolvendo le tre

equazioni ricorsivamente, usando

come condizione iniziale n 0 0

i

− 1

⇒ s 1  μ + μ• n 0  μ / X1

1

1/ V μ / (N 1

i

I principali vantaggi che i modelli di teoria delle code analizzati hanno sono

essenzialmente du