Schemi pre orale Scienza delle costruzioni

TEOREMI ENERGETICI

quasi-statiche) fl

Condizioni crescere di

crese al

· :

Lavoro Deformazione

Di

· : =

Ek" 2)

( Ska

Loef F

.

fa N m

-

= =

= =

= A

Mb

. =

=

E

Energia Deformazione

Di Accumulata Struttura

· Elastica dalla

:

1 NMdx

ENM

-E

Laef b Roef

=

= . =

Loef Roef è elastica

se la

= stantra

= 1SCNM Med

TE

1

NEL GENECAE

Caso + +

: =

CLApeyRON

1 Teo di Piccoli Spostamenti

Ipotesi : (Vincoli Lisci

Cedimenti

No fissi e

· No ANELASTICHE

Defo

· MAT EL LIN

· - .

.

PLU

SI SSA SCA

APPLICA CON E

S(x)v(xd fin

Gest .. + (i) =

= SINM 2

Mx]dx

Tt +

+

= =

C'è Unicità problema

del

della Soluz Elastic

.

2 Teo Di BETTI

Sim [MMS

=> 2

[ L-SM

2 %

[Fu( +

+ +3 + dx

1 x

+ u

+

:

= =

i

= =S

Li

Fie(i) TPt

Nu M3x1)dx

+ +

=

-

2 BA

Lint

dx =

2

27

=> =

Fa

EX

. fo FAftt

1) 2

S

"

1) =

N LBA

Za ,

GAS B

Jess 2) F

21 =

1 Fa Vas

=

17238

EFacta

& FaVAs

+

+

=

Tot

Fa EFsUss

ufs EFavaa

2) & Es VBA

+ +

tot =

-b

a bat Usa

& MAXWELL

Teo Di EFn(Unk

EFnUn Lakfk

Unk

capeyron e

↓ : =

=

=

= F

Ruk

TEO -kh

X Bett : =

dnk dk

= = Fa fa

Agisgno

Caso solo

cui

EX in

. .

Etfe(desfz 22 f2)]

Fz(da1fz

Grafz)

- +

+ =

+

= F2d2]

ElFidra 2fafzde2

= + +

= ERFed2 2F2d22)

+ Fedez =2dza

+ =

= 2

2

PER

IDEM FIGPPIE

4 CASTIGLIANO

Di SOLO

TE CONCENTRATE

,

= idhii

uf PER CLAPEyRON

EX . : 1x

↓ b 1(M

E)M(xX(x)dx

EF

2

G = =

=

↑ ↑

b b ax =

6 =

M FX

= Uf

5 MENABREA

Teo Di problema

grrispondenza della Soluzione

& del

Minima In

in Solido GENERIG

· ...

/PERSTATICA

CONTINO DEFORMABIE CAUCHY

DI

E

↓ AMs

AR AM ABS

Sf

S ,

I

LIBERO

↓ IPOTESI FORTI :

linE lin Ipotesi DEL

Va CONTINO

CAUCHy

DI :

=

- No coppie forze

A Per

di

As

Im lim

1 1 0 Unità di Volume / Sup

CONTORNO =

x Su AS

15-0

I VINGLTO pe Materle

Ingrandendo dimensione

trolo Wil

di

un . Plano L

Taglare

IMMAGINO con

Il Normale

un

CNTiro

di di

SUP

Di

Forza :

Art

-

ARa lim p

Vettore sforzo

Gl in

=

a =

ASa AGENTE

M aspeo SULL GACITuet

:

& DI ↑

NORUAE d

W In

r Ax e

-

ARG

- pto= totalità Pro al

ga

stato sforzo in

di

di un

in quel

-

VARN GACITURA

DELLA p

solecitazione sforzo

Stato di stato

conoscenza dela di

p in

in =

INFo

) do

= TetraedrO Di

= CAUCHY

Il

Introduc

3 3

SPiGoli ASSI

CON

ALLINEATI 1

X3 Xz

+ 28

(2) (2)

Ar Ma 1

- -

- =

= =

-XI L'equil

impongo Alla traslazione :

.

EadSa-GedIn-G2d12-2jd

EdV o

=

dS212

dSy As

= -

22 As

Ga

G2A2

Gels

) + +

= = pto

Per di ho

crosere lo soll

: stato un

In

.

Bisogno 9

di info

@s32) 6 M

:

[Gs :

Ex 02 =

= ↓

TENSORE

j I Sforto

Di

S gi

=

Sensore = Gij

COMPONENTI TENSORE = ↓" SOR

NON DIP DA :

Sforto .

DIREZ NORUAE

. GT

· ,

Gli Gi

· Je 5

S

· .

.

det (ET

·

SFORZI PRINCIPALI

GTAd

-L = ?

7 ELE

t GIACITURA

Ma Alla

C

. . -

61 6 Ah

= 6 (G" GE)12

Gr GA) = 0

=

-

2

= = SIST 3 3

Eg IN)

OM

. .

.

.

1) det Ad

o 0

=

56

63

2) olt 56 5 S INVARANTE TENSON

DEL

+ =

o 0 =

-

= - Di Sforto

Sol

3 Gl Gl G

: , ,

SFORZI PRINCIPALI

)

=

S tr(CT)

Tr = E(tr(61)" Etr("

5 -

=

2 (GT)

det

53 = (Versoril

principali

MI, Mi =

Mi direzioni

, All

Se Gigi PARTIGARI

STATI SFORZO

DI

1) Si

sforzo Gi

Gl

stato Cilindrico

di =

,

Ga ASSIALI

RADIALI

DIREZIONI SONO

E

TUTTE E

PRINCIPALI .

Gi MäMr o

=

L ~ plò Selta

loro

Gr essere

Tra

1

Coppia

Qualunque PRINCIPALI

Di DINZ

Cre Coppia .

2) Sforzo Sferico Idrostatic

Stato el

di

16 e -P

Gigi Gi

6 direzioni

in e

tutte

= : =

=

C'è Tangenziale

Grp

: Non . Pi Essere Presa

OGNI TERNA CME

ORTOGONAl

Direz PRINCIPAL

.

3) STATO PIANO

SFORZO

di Nullo

Gl

Gi

Gi Uno

,

. [20

S =

EX 0

=

. I Te

= Gn 622

+

= Gir 6(63 (2)

(16

=>

Ta GeeGen- + = 0

= -

53 (Setti

= 0 Senigal

Gli

da cur : =

A IDROSTATICO

SFORZO DEVIATORICO ED Se GetGae

P

Componente

IROSTATICA Di = = = 3

C

SFORZO PRESSIONE

= Deviatore

6-PI Sforzi

S Degli

= =

↓

↓ FORMA

VARAZ .

VOLUME

S Si tr(2) Gn 3p

Gu 63 0

+

= =

+

= -

Estr

Etr(11)"

52 = -

Sz (S)

det

=

Lastra test

Ex (2)

. =

G

I E <

[MI A

= =

= (3)

[] E

SI

= =

* #

A

CERCHIO DI MOHR Possamo Sforzo

grazie Mohr al

di

al Vara

come

cerchio capire lo

· Varare vabri su

trovando gacitura

gacitura

della della

i cur

,

C'è MAX/MIN SFORZO

IL NORMAL .

Stato Plano

Sforzo Il Si

di Min

max

Nell trovano

EX e

,

. (DOVE TANGENZALIL

SULL GACITURE PRINCIPALI ANNULLANO E

SI COMP .

Normal

Max dello

Gi

Gi sforzo

Min

: e

=

.

dG O

=

d d

bacitura Sforto EG

VEttor

1

comp .

↑

GIO

CONVENZIONI MOHR

Di TRAZIONE

CERCHIO : To ORARIO

drp Ga

TANGENTHE

.

CX-Xl Ra

CY-Vol

+ =

8 26

= -

↓

Angolo NEL

PIANO MOHR

DI Ti

62 -

EX X21 Gzer62

. 7 Gen

~. 6 I

6

· 6

G12

X2

Gente

Xc y Gaz

0

=

= - =

6)

Se

(6n Gi

+

R +

-

= CIR

GI

:. = PIANO

STATI SFORZO Notevoli

Di Tr

el MONOASSIALE 6 G11

=

. 2 0 T

= 0

· =

si S

= 6

d 0

=

· T 0

= Se

Gm-S

(6e-2

R =

= =

=

C

2) SAINT-VENANT 6

621 611

=

d 61

0

~ T

= -

=

Sen

X2

1 61z T

d

In =

X2

~ (5)2

=S Gi

R

C

Ti +

=

Gen- · Per SAINT-venant hanno

Gi e Gi

D Se

Si SEMPRE OPPOSTI

SEGNI

Grz =

3) PURO TAGLIO R C

G12

Ese 0

= =

L ,

62 o

=

- 621

Sez =

d - G12

Gi =

*

Enz

M EquiBIASSIALE 6 Gen

=

a

1622 0

= To C 0

=

16

d 62

=

= R

Eis 0

=

T 0

= ⑩

COLLASSA

pto

In Un

5) TORSIONE 6 6

=

2 = 0 T

6

62z = 0

= -

& =

6 6

· = -G

Si Gi

= =

C

R G

. 0

=

=

DentiCo Taglio

Al Puro

Arbelo MoHR

Di flotare L'asse XI

lungo

Avere farlo

un

Immagino cubo e

di

Pol Pol

XI XI .

. Sforzi TANGENZIALI

ABBIAMO SA NORMALI

SULL FACE PLOTATE Che :

· 622 Gen

Gen Gnz

, , ,

XI Gr G13 633 63e

=

· , .

, Gaz

XI Ga 623 632

=

· , ,

,

Suppongo Gi G Gi

Che

In dotazione

la

se del cubo

Arbelo Mohr

di non

= Al PRINCIPALI

Attorno ASSI

3

Avviene

~ ,

/ pti rappresentativi si

non

I troveranno

- NELL'ARBElo

3 CERCHI

NEI MA Di

, MHR

6

S

-

Gi !

PARTE FINALE

La

MANCA

: Gigitfi

equazione equili

di indefinito o 123

=

=

fo

G

= IN

Deformazione Di Un CONTINO

CAMBIAMENTO DI FORMA

=

TRASLAZIONE ROTAZIONE RIGIDA = CAMBIO FORMA

NO

,

2 Tipi Variazione

deformazione

di di

lunghezza

di fibra

una

: · Relativo

Angolo 2 Originarmente

Fibre

Tra

· Loro

Tha

↓

L'Entità e

Sforzo Associata

Geom superficie

la

: .

FIBRA

LA

DEFORMAZIONE : F

· M Spostamento

= t

to ,

1

, 2 RELAZIONE Di

DEFO :

Met X

t)

t) A

1

(2(X ((X

= M +

:

-

↑ =

=

1 , .

G ↓

E ↓ ↓

↓

3 tr

Velocità NUOVA Posit POSIZ SPOSTAMENT

Vettore allistante

Xj .

DEFO INIAE Defo

to

È Alla

Sempre TRAIETTORIA

Atto S

Moto

di Un Distribuzione

di Della di TUTTI

= Pti

E del

ISTANTE

AD UN E

CORPO all'istante

Corpo

I considerato

Cl So

DELL'ATTO el Moto traslatorio

CINEMATICA MOTO

Di =

V(2) t)

-

1 ,

P(2) da rip)

diff e(po

tra e

- =

da .

Volot

P(X) E(X Uo(t)

t) dU

·

· = +

P(Co ,

O

X Xd dX FIBRA INIZAE

=

X : d Deforrata

Corrente

I

=

- Unz Vrz

Ver

-

1 = SIMETRICO

DOPPIO

TENSORE

) Non

=

-..

-

2 Wx

+

= ↓ doppio

tenore (zeri oppostil

resto

diag princ cani

sim ha

TENSO NE .,

. .

ASIMETRICO

Doppio SIMM . Velocita

Gradiente

= I

E(1 2T)

D

= +

= E(L 1)

w -

= (d2) 2d2)

A Vo

dE

Vo Vo Wd

. + + +

+ =

= =

1) 1 = to Moto

No Defo Atto traslatorio

di

0

= = ,

1) 1

D

Lo Wo

W :V

80 =

Ma =

0 =

= =

.

di del

di Rotatorio

Defo Atto Moto

No , Atti

Wo Moto

e

For defo

rigidi No

di

. ,

e Dato

deformativo

Il Contento Solo da

: R Tensore Relativo defo

di

= =

We Vettore

spinta ha voi rotazione

tensore assiae

di della

, Velocità Rotazione

di

- o-Wy 1

Wa E(V3

Wr 3)

W

t Va

C = -

= Wa 2

. . .

Wi .

O - EC) --

.

-We wis o E) 1)

E 1

&d

= We

... tensore di defo

. + +

+ =

=

o I

↓ ↓ ↑

ABM GradienE Di

TENSON =

ADM

ADM RTATORIO/ VELOCITA

di Spinta

Nel DefO

Di

TRASLATORIO .

Il data

dS d2

dall Wnghezza

· Fibre

=

=

=

des 2dd Velocità varazione lunghezza

di della

= = DELE FIBL

Defo finite Serve co-esime

capire

X

No co-esime l

: ,

T

1 + d

M(X) No

dH

M(X) Mo(Xd + =

=

da d2

P(1)

--- --

1 it SPOST

TENSON Gradiente Di

dX X t)

M(X

CCXt) +

=

Mokol

PoXo) , Tensole Gradiente di

= DEFO

> 62dX

OMdX

01

d(((kt) dk + = E

= I 1

+

= =

2x

JX GX

Terz -- .

E I M

=

= =

↑ -

-

- Doppio

TENS

= .

Sira

Non

L .

~

~

-

- - dXTETEdX

Ildl2

S2 d d

d) = =

=

S Il dXll2 dxdX

=

=

dsa-dS2 dXTEEX-dXdX

=> =

= dXCETE-IdAld

= dXT(I VM)T(I DM) Il d

+ + -

= dXT(M

1) M" /

T

+ De

+

= dLETE-I]

2 d

TENSORE DEFO

DI

DI GREEN-LAGANGE

ELETE E[ty

I] +

+ M]

Ty

E +

=

= -

↓ - >

-

PARTE SIMM PARE

SIM

SIMM

Doppio

TENS . .

.

. LINEA

DM NON

LINEAr

Di )

=

↓

TENSON

Grad SPOST

Di .

.

Ipotesi piccoli

di Spostamenti

PREMESSE :

1) cosi' piccoli

spostamenti da

defo essere

poter confusi an

e E do-esimo

Ade

Un intervallo

In un :

M Vdt

dM

= =

2) l'equilibrio

influenzare instaura

modo

il

da si

cui

Non in .

3) X = (

Dot 1

E defo

Tensore piccole

di v

su

=

= =

1)

Ett 1T]

c

=> + =

= (

E

(t)

&(d E

ut

1dt

: +

+ = =

= =

Simu

Non LINEARE

.

↑ Dot

2 0 Wat

Vdt

u +

+

= = =

↓ ↓ SIMM

ANTI

SIMU w-

.

.

1) &d

MT) W1dX

8 Walt

= - = =

= =

= I

↓ Vettr Asil Coraz

piccola

di

ANTISIMM

ROTAZ

PICCOL

TENSORE Di , .

-0-Wa

W

A = o

We

we

- -

-

Di Lineare

Equaz congruenza indicial

:

. &(Mij Mil

Ein +

=

Essere

Non Può

ci :

COMPENETRAZIONE TENSORE

· E[M AT

E

/ +

Rotture

Fratture =

· NECESSARLA GNGRUENZA

GNDIZIONE PER INTERNA

LA

ElMii i]

Eii Mi

+

= -

è e

da Mis

Mentre 6 Eis

possibile risalire ale componenti Non

di ,

Poiché

Possible simmetrica

parte

definiscono

esse

Il Contrarlo la

sol

più

In la

Pare Asimetrica condizione

M Wij di

Di la

Non

/ . Mi

6

sistema

congruenta eg

Lineare solo

Definie 3

un di incognite

ma

.

Introduco Di

condiz inerva

l Congr :

. Xh Xk

Derivo per

Membri

entrambi i .

na)

E(Mij

②Eij Mri

nk hk +

=

. . E(unk

Ehk

Uk Mkh)

RI ScelVo LIN

Ep Conce Gr : +

=

.

. . E (Mnkij Mkhii)

: Enkij

Derivo Xi

Per Xi +

=

, Eis

Sommo Einsk

Enkij Eskih

Uk + +

: =

. (3")

81 permutando ritti

equazioni

ottengo gli norci

INDIPENDENTI

6

I

6 Selte Di INDICI :

41i

1) n

h

i k

2

1 2

1 3

k

c c =

= = =

= =

= = -

- si k

2) h

i 3k

3 1

2 2

k

5 5 = =

=

= = =

= =

, .

di

31 h

h

i 2k

k

3 1 3 2

5 = =

= = =

= = =

, .

POLSO

Derivando ULTERIORENTE Sono INDIP

DIM 3

Solo REALENTE

Che

. Monoconnessi

Le Anche

valgono

Interna per corpi

i

condiz di Cong ,

. . ↓

Più

Pluri

Per Cervono

connessi condizioni in

i . "Buchi"

Senza

Corpo Cher

= ,

Può Eske

Attraverso defo

, pto

Ricondotto ad un .

Eij

delle

significato

Interpretazione componenti

X2v d(2 d

dxz +

=

*

M2 10x1 ↓ S Il dell

=

. -T]

=