Optometria 2

5. ORLATURA E RIFILATURA DEL DOMINIO

L'utilizzo di una trasformata discreta ha come conseguenza che il rapporto tra il numero di pixel per frangia

della portante e le dimensioni dell'immagine deve essere un valore intero. Se così non è, la traslazione nel

campo delle frequenze prevista al passo 3 dell'algoritmo di Takeda non può avere pieno successo e nel campo di

δυ

υ⋅r

fase risultante resterà un termine residuo, della forma (un piano).

Questo termine spurio può essere rimosso con un’operazione di post processing se il campo di frange

ϕ (r) è nullo o trascurabile; tali zone, infatti, possono essere utilizzate per calcolare la

contiene aree in cui 0

portante residua (ad esempio con una tecnica ai minimi quadrati) e quindi eliminarla. Particolarmente adatte a

ϕ

questa operazione sono le aree “riempite” con l’algoritmo di Gerchberg; in esse, infatti, la componente (r) è

1

ϕ

trascurabile e la (r) è nulla come è evidente nella parte centrale della fig. 2, dove appare chiaro che la zona

0

“riempita” non ha un andamento sferico ma costituisce un piano.

Nel caso non esistano zone prive di segnale il problema è molto più complesso ed è di solito superato

ricorrendo a soluzioni tarate sul caso in esame. In realtà, come sarà illustrato nei paragrafi seguenti, l’algoritmo

di riempimento, opportunamente utilizzato, consente un approccio generalizzabile al problema.

(a) (b)

Fig. 3. Portante frazionaria (a) ed andamento del massimo e della sommatoria normalizzata delle componenti della FFT al

variare del numero di righe e colonne rimosse.

5.1 Orlatura del dominio

Una tecnica per la rimozione dal termine residuo della portante, alternativa a quella descritta nel paragrafo 5,

consiste nel lavorare, piuttosto che sul risultato, sull’immagine stessa di partenza, in modo da portare ad un

valore intero il rapporto tra il numero di pixel per frangia della portante e le dimensioni dell’immagine. Per

ottenere questo risultato, quanto meno in modo approssimato, è sufficiente modificare le dimensioni

dell’immagine aggiungendo progressivamente righe e colonne fino ad ottenere la combinazione ottimale. Perché

le condizioni di continuità ciclica della FFT siano soddisfatte, tuttavia, occorre anche che le righe inserite non

siano nulle ma contengano segnale. L’algoritmo di Gerchberg si presta precisamente a questo scopo in quanto

consente di estrapolare la portante alle zone in cui essa è assente, nel caso specifico ai bordi fittiziamente

inseriti.

L’algoritmo di orlatura può quindi riassumersi nell’esecuzione, per un numero predefinito di passi, delle

seguenti macro-istruzioni:

1. mappatura dell’immagine, dell’eventuale maschera e del fondo (se disponibile) sulle matrici orlate;

2. estrapolazione della portante nelle aree in cui essa è assente;

3. calcolo della FFT reale; 995

XXX Convegno Nazionale AIAS – Alghero (SS), 12-15 settembre 2001

4. individuazione della componente di valore assoluto massimo f nel piano di Fourier, avendo cura, se

max

non si è normalizzata la fase, di escludere dalla ricerca la componente corrispondente alla frequenza

nulla; :

5. normalizzazione dei moduli degli elementi della FFT utilizzando f

max

f’(i,j) = f(i,j)/f (5)

max

6. calcolo dell’indice di concentrazione g: ( )

n n

i j f i j

' ,

i j

=

g (6)

n n

i j

con n ed n dimensioni correnti dell’immagine

i j

7. se g è inferiore al valore corrente, salvataggio del suo valore e delle dimensioni dell’immagine.

Al termine delle iterazioni l’immagine deve essere ridimensionata utilizzando i valori ottimali trovati al

punto 7. L’algoritmo infatti lavora in base al principio che più il rapporto tra pixel per frangia e dimensioni

dell’immagine è prossimo ad un numero intero, più il picco risulterà concentrato; normalizzandone quindi il

valore ad 1, l’indice di concentrazione g avrà un minimo per la configurazione che presenta la dispersione più

bassa delle componenti, cioè la configurazione cercata.

In figura 2 sono illustrati i risultati dell’operazione di orlatura e riempimento: l’estensione dei margini è

chiaramente visibile nel bordo destro ed inferiore dell’immagine che, ovviamente appaiono privi di rumore. Si

osservi come il valore della modulazione e dell’intensità media siano stati preservati e come l’estensione del

dominio consenta di soddisfare le condizioni di continuità ciclica dell’immagine.

5.2 Rifilatura del dominio

L’algoritmo illustrato al punto precedente può essere reso molto più semplice e computazionalmente meno

pesante, a patto di accettare la perdita di parte dei dati. Se infatti, invece di aggiungere progressivamente righe e

colonne, queste vengono rimosse, l’esecuzione del passo 2 (riempimento), che consuma la parte più consistente

del tempo macchina, non è più necessaria e l’algoritmo si riduce alle seguenti fasi:

1. rimozione delle righe e/o delle colonne dai bordi dell’immagine ed eventualmente del fondo;

2. calcolo della DFT dell’immagine (possibilmente normalizzata con la 4’);

3. identificazione della componente massima (escludendo la componente di frequenza nulla, nel caso

l’immagine non sia stata normalizzata);

4. normalizzazione della FFT con la (5);

5. calcolo dell’indice di concentrazione con la(6).

I passi 1–5 vengono ripetuti per un numero di volte specificato dall’utente; in alternativa si può indicare il

numero massimo di righe e colonne che si ammette possano essere rimosse ed esplorare tutte le combinazioni

all’interno di tale campo.

Fig. 4. Ricostruzione del campo di frange di fig. 1. Toni di Fig. 5. Ricostruzione del campo di frange di fig. 1 con

grigio diversi corrispondono a quote diverse (nero=0). l’utilizzo dell’algoritmo di orlatura.

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In figura 3a è illustrato un campo di frange frazionario mentre in fig. 3b è riportato l’andamento sia del massimo

della FFT che dell’indice g al diminuire delle dimensioni dell’immagine. Si osservi che, nonostante la bassa

frequenza della portante, il minimo di g si ottiene a seguito della rimozione di solo 6 righe e 6 colonne. Nel caso

si abbia quindi a che fare con immagini i cui bordi contengano dati che possono essere trascurati, questa variante

dell’algoritmo è sicuramente da preferirsi alla precedente.

6. ESEMPI DI APPLICAZIONE

Di seguito vengono presentati una serie di esempi di applicazione delle tecniche su esposte. In particolare sono

analizzate un’immagine sintetica, la deformazione di una flangia acquisita con la tecnica della interferometria

olografica ed il campo di spostamenti di una piastra forata caricata uniformemente sui bordi.

250 0.45

0.40

0.35

0.30

0.25

0.20

0.15

200 0.10

0.05

150

100

50

0 0 50 100 150 200 250

Fig. 6. Errori nella ricostruzione della figura 4 dopo la rimozione a posteriori del residuo della portante.

6.1 Immagini sintetiche

In figura 4 e 5 è illustrata la ricostruzione del campo di frange di fig. 1 (un settore sferico), utilizzando le

tecniche descritte. Le due immagini differiscono per il fatto che nella prima non è stato utilizzato l’algoritmo di

orlatura/rifilatura del dominio. E’ evidente come nella fig. 4 sia presente una componente residua che si traduce

in un risultato distorto, mentre tale componente è stata del tutto rimossa nel secondo caso.

250 0.45

0.40

0.35

0.30

0.25

0.20

0.15

200 0.10

0.05

150

100

50

0 0 50 100 150 200 250

Fig. 7. Errori nella ricostruzione della figura 5.

In figura 6 sono riportate le mappe di errore relative all’analisi del settore sferico eseguita senza

l’algoritmo di orlatura, dopo che la fase è stata corretta a posteriori tramite la stima di un piano interpolante. Dal

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confronto con la fig. 7, che mostra invece le mappe relative al caso in cui l’algoritmo di orlatura/rifilatura è stato

usato, appare chiaro che la metodologia proposta consente di ottenere risultati eguali o superiori alla tecnica

classica, con il vantaggio di poter essere applicata anche nei casi in cui non è evidente quale sia il piano

interpolante.

6.2 Deformazione di una flangia sottoposta a pressione interna

In figura 8 è riportato il campo di frange, ottenute con la tecnica della interferometria olografica, relative ad una

flangia sottoposta a pressione interna. In fase di registrazione dell’ologramma è stata inserita una portante per

semplificare l’analisi con le tecniche automatiche.

Fig. 8. Flangia sottoposta a pressione interna. Fig. 9. Deformazione della flangia. Si riconoscono il rinforzo

centrale e gli 8 rinforzi radiali.

In figura 9 è illustrata la deformata calcolata con le tecniche descritte in questo lavoro. A parte alcuni

difetti visibili nella parte inferiore, sono facilmente riconoscibili gli otto rinforzi radiali e quello centrale.

Durante il calcolo si è utilizzata una maschera per disabilitare le aree esterne ed i bulloni mentre per compensare

la (lieve) inclinazione si è impiegato l’algoritmo di orlatura che, nel caso specifico, ha rimosso una sola riga.

Fig. 10. Tensioni residue: campo di Frange iniziale Fig. 11. Tensioni residue: campo di Frange dopo la foratura

6.3 Tensioni residue in un provino di alluminio forato

In figura 10 ed 11 sono riportati i campi di frange, ottenute con la tecnica della interferometria Moiré, prima e

dopo la foratura di un provino di alluminio. Il reticolo, da 1000 linee/mm, è stato incollato sul provino dopo

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l’applicazione del carico e quindi forato con un trapano di precisione ad alto numero di giri, in modo da

simulare un campo di tensioni residue. In particolare nella fig. 11 è evidente il rilascio delle tensioni tutto

attorno al foro.

In figura 12 è riportata la differenza di fase lungo un segmento orizzontale posto in mezzeria del provino:

l’andamento è chiaramente consistente con quanto previsto dalla teoria.

2

0

-2

-4

-6

[rad] -8

∆ϕ -10

-12

-14

-16

-18 0 20 40 60 80 100 120 140 160

[pixels]

Fig. 12. Andamento della differenza di fase lungo la mezzeria del provino

7. CONCLUSIONI

Nel presente lavoro sono state presentate una serie di tecniche, alcune originali, altre note in letteratura, la cui

combinazione consente da un lato di