Formulario Teoria e gestione di portafoglio

LA SOMMA DEI CONTRIBUTI AL RENDIMENTO TOTALE E' PARI AL RENDIMENTO COMPLESSIVO:

MARGINAL RISK CONTRIBUTION

TOTAL RISK CONTRIBUTION

ESPRESSO IN PERCENTUALE %:

LA SOMMA DEI CONTRIBUTI AL RISCHIO TOTALE E' PARI AL RISCHIO COMPLESSIVO:

Gestione di portafoglio Pagina 5

VALUE AT RISK

Storicamente il rischio veniva inteso come la possibilità di avere uno scostamento sia in termini positivi che in termini

negativi dal valore medio, in tempi più recenti questo concetto è mutato e ad oggi si tende a coniderare il rischio come

la possibilità di avere dei rendimenti inferiori al rendimento sperato.

Definizione --> Il VaR di un investimento rappresenta la massima perdita registrabile dato un certo orizzonte

temporale ed un dato livello di confidenza. In particolare fa riferimento alla probabilità di perdita ed al concetto di

perdita potenziale.

• L’orizzonte temporale può essere qualsiasi ma i più diffusi sono: giornaliero, settimanale, mensile, annuale

• Il livello di confidenza può essere qualsiasi ma i più diffusi sono: 95% e 99%.

• Il VaR è espresso direttamente in quantità monetaria (euro, dollari, ecc) MA è anche molto diffuso il returnVaR

che è espresso in % (noi useremo questo).

• ESEMPIO: con riferimento ad un investimento in azioni ENI dell’importo di 10.000 euro, dire che il VaR annuale è

pari 2.000 euro con un livello di confidenza 95% equivale a dire che tra un anno l’investimento avrà un valore

maggiore di 8.000 euro con una probabilità del 95%. Equivalentemente possiamo dire che la perdita sarà

maggiore o uguale a 2.000 euro con il 5% di probabilità

CONDITIONAL VAR

Una caratteristica del VaR, spesso vista come uno dei suoi limiti, è nel non dare indicazioni su quale sarà l’entità della

perdita se questa eccede il VaR stesso. Per andare incontro a questa richiesta è stato ideato il Conditional VaR(CVaR),

anche detto Expected Shortfall. Come nel caso del VaR anche il CVaR dovrebbe essere espresso in termini monetari ma

spesso è utilizzato anche come returnCVaR (noi useremo questo).

Il CVaR di un investimento rappresenta la perdita attesa registrabile se la perdita stessa è più severa di quanto

indicato dal VaR.

SCENARI EVOLUTIVI DEL MONTANTE

Con questi tre montanti possiamo disegnare un «cono» al cui interno, nel 90% dei casi, dovrebbero essere contenuti i

valori della futura traiettoria del montante.

Se voglio considerare un cono che racchiude, ad esempio, l'80% dei casi, devo chiaramente cambiare il livello del mio

intervallo di confidenza (sceglierò come worst z e come best z ).

0,10 0,90

N.B: z = 0 | z = -1,645 | z = +1,645 | z = -1,282 | z = +1,282

0,50 0,05 0,95 0,10 0,90

(Ʃ rt)

W = W * e

T,effettivo 0

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REBALANCING STRATEGY - GESTIONE PASSIVA

Gestione di portafoglio Pagina 6

REBALANCING STRATEGY - GESTIONE PASSIVA

L’ultima equazione è importante, ci «ricorda» che il ribilanciamento che stiamo studiando non include flussi esogeni. È

un ribilanciamento «autofinanziato». In particolare si effettuano vendite sugli asset che hanno sovraperformato

finanziando acquisti, esattamente per pari ammontare, su quelli che hanno sottoperformato.

A livello pratico:

1. valore nuova posizione = valore posizione iniziale * (1 +/- rendimento)

2. nuovo valore del portafoglio = valore iniziale del portafoglio * (peso asset 1 * (1 +/- rendimento asset 2) + peso

asset 2 * (1 +/- rendimento asset 2) + …. + peso asset N * (1 +/- rendimento asset N))

3. nuovo peso = valore nuova posizione / nuovo valore del portafoglio

4. scostamento = nuovo peso - peso iniziale

5. valore posizione target = nuovo valore del portafoglio * peso iniziale

6. valore operazione = valore posizione target - valore nuova posizione

7. se poi consideriamo un flusso in ingresso / uscita…

a. valore portafoglio post flusso di cassa = nuovo valore portafoglio +/ - flusso di cassa

b. valore operazione post flusso di cassa = peso iniziale * flusso di cassa

c. valore finale operazione = valore operazione +/- valore operazione post flusso di cassa

REBALANCING STRATEGY - GESTIONE ATTIVA

A livello pratico (cambia solo che anzichè considerare il peso iniziale consideriamo il peso target):

1. valore nuova posizione = valore posizione iniziale * (1 +/- rendimento)

2. peso target = peso iniziale +/- pos. attive

3. nuovo valore del portafoglio = valore iniziale del portafoglio * (peso asset 1 * (1 +/- rendimento asset 2) + peso

asset 2 * (1 +/- rendimento asset 2) + …. + peso asset N * (1 +/- rendimento asset N))

4. nuovo peso = valore nuova posizione / nuovo valore del portafoglio

5. scostamento = nuovo peso - peso iniziale

6. valore posizione target = nuovo valore del portafoglio * peso target

7. valore operazione = valore posizione target - valore nuova posizione

8. se poi consideriamo un flusso in ingresso / uscita…

a. valore portafoglio post flusso di cassa = nuovo valore portafoglio +/ - flusso di cassa

b. valore operazione post flusso di cassa = peso target * flusso di cassa

c. valore finale operazione = valore operazione +/- valore operazione post flusso di cassa

TRACKING ERROR - GESTIONE SINTETICA

Gestione di portafoglio Pagina 7

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PRICING BOND CON FLUSSI DI CASSA NOTI

i = TIR (tasso interno di rendimento)

Dove i flussi di cassa sono rappresentati come:

Dove i è il tasso cedolare, m è il numero di cedole pagate in un anno ed N è il valore nominale del bond. Per BTP

ced

valore e futura c'è inoltre da considerare il premio fedeltà aggiunto alla fine scadenza del bond (se acquistato in

emissione e mantenuto fino alla scadenza). Per i BTP futura si tratta però di un flusso variabile e il premio fedeltà in

generale grava poco sul valore dell'investimento.

Con riferimento alla formula precedente usualmente ci si riconduce ad un’equazione dove l’incognita è proprio il TIR

(ovvero i); si ragiona quindi considerando il prezzo come un termine noto. Se quello che ci interessa è invece trovare il

prezzo di un titolo si può usare la medesima formula ma si deve fare un assunto importante: ovvero ipotizzare una

curva piatta dei tassi di interesse (ipotesi poco realistica ma molto sfruttata).

DURATION

È da notare che questa diminuisce all’aumentare del peso dei flussi intermedi e diminuisce all’aumentare del TIR

Duration modificata:

D* = D / (1+i)

Relazione tassi e prezzi:

Un movimento dei tassi (fattore di rischio) implica un movimento di prezzo (potenziale perdita). La «variazione dei

tassi» è da intendere come uno shift parallelo della curva dei tassi dove questa è piatta. Si può parlare anche di una

variazione del TIR.

TITOLI A TASSO VARIABILE

Il TIR è una misura impropria per i bond a tasso variabile. Per i CCT a volte si utilizza con un’ipotesi implicita di tasso

cedolare costante al valore relativo al prossimo stacco. Un’altra convenzione prevede l’utilizzo di tassi cedolari calcolati

in base ai forward. Con questi metodi si può trovare una sorta di «TIR atteso» • Una misura studiata appositamente per

i bond floater è il Discount Margin(DM) • Esso mira a permettere il confronto tra floter bond parametrati allo stesso

tasso di riferimento

ROVERA

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA

CAPITALIZZAZIONE CONTINUA

TASSI EQUIVALENTI Gestione di portafoglio Pagina 8

TASSI EQUIVALENTI

Capitalizzazione semplice

Capitalizzazione composta

Capitalizzazione continua

TASSI EQUIVALENTI IN DIVERSI REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE

Da semplice a composta:

Da composta a semplice:

Da composta a continua:

Da continua a composta:

Da semplice a continua:

Da continua a semplice:

RENDIMENTI ARITMETICI E GEOMETRICI

MWRR

TWRR

N.B: nel "valore inizio sott." si considerano anche conferimenti (+) e riscatti (-)

UNIT PRICE METHOD Gestione di portafoglio Pagina 9

UNIT PRICE METHOD

Equivalente al TWRR ma può essere calcolato SOLO per fondi ad accumulazione dei proventi. E' decisamente più

semplice da calcolare.

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DEVIAZIONE STANDARD --> MOMENTO SECONDO DELLA MEDIA

Questa è la varianza, per trovare la deviazione standard bisogna fare la radice di sigma quadro

ASIMMETRIA --> MOMENTO TERZO DELLA MEDIA

3

• M = 0 (simmetria)

3

• M > 0 (coda verso destra) --> asimmetria positiva

3

• M < 0 (coda verso sinistra) --> asimmetria negativa

CURTOSI --> MOMENTO QUARTO DELLA MEDIA

4' 4''

• M = 3 oppure M = 0 (mesocurtosi)

4' 4''

• M > 3 oppure M > 0 (leptocurtosi)

4' 4''

• M < 3 oppure M < 0 (platicurtosi)

DOWNSIDE DEVIATION

Come la classica deviazione standard ma si usa rendimento target

RISCHIO RELATIVO

Per misurare il rischio relativo con il beta ci sono due possibilità di calcolo del beta:

TRAKING ERROR

TRACKING ERROR VOLATILITY

RENDIMENTO DI PORTAFOGLIO

RISCHIO DI PORTAFOGLIO

Se però non ho la correlazione, devo trovarmi la covarianza tra x e y e quindi calcolarmi il rischio di portafoglio

tramite la seconda formula:

La covarianza tra x e y si calcola così:

N.B: Ovviamente una volta che trovo sigma quadro devo fare la radice per trovare sigma

Gestione di portafoglio Pagina 10

N.B: Ovviamente una volta che trovo sigma quadro devo fare la radice per trovare sigma

RISCHIO SINGOLA AZIONE

• Modello uniperiodale (t=1)

P1 = prezzo di vendita

P0 = prezzo di acquisto

D1 = dividendo

• Modello multiperiodale

r in questo caso viene trovato per tentativi o tramite excel (in maniera simile al TRES dei bond)

• Modello di Gordon

• CAPM

PREMIO PER IL RISCHIO

rp - rf

N.B: se l'esercizio dice premio per il rischio = 10%, io non devo sommarlo al tasso risk free (rf) ma devo utilizzare

direttamente 10%

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PORTAFOGLIO A VARIANZA MINIMA

Il portafoglio a varianza minima non dipende dal rendimento atteso, in questo caso interessa esclusivamente

minimizzare il rischio.

FUNZIONE DI UTILITA'

A = parametro di avversione al rischio

• A > 0 --> investitore teme il rischio

• A = 0 --> investitore indifferente al rischio

• A < 0 --> investitore propenso al rischio

I portafogli che si trovano sulla medesima curva han