Eventi di Poisson e processi di Poisson

EVENTI DI BERNOULLI

Prendiamo l’asse dei tempi e lo discretizziamo mediante intervalli di

lunghezza T e che chiamiamo :

Consideriamo poi degli eventi casuali che obbediscono a queste regole:

·20 In ogni intervallo può cadere al massimo un evento

·21 Gli eventi sono i successi di una sequenza infinita di prove di

Bernoulli con P(evento in )=p.

Quindi per ognuno di questi intervalli si esegue una prova di

Bernoulli con probabilità di successo pari a p e se la prova e mi fornisce

un successo inserisco un evento nell’intervallo, se invece è un

insuccesso lascio vuoto l’intervallo

Gli eventi che obbediscono a queste regole prendono il nome di eventi di

Bernoulli. Per ciascun intervallo possiamo dire se c’è o non c’è un evento di

Bernoulli e, come si vede, per ogni istante di tempo viene eseguito un

esperimento casuale che è una prova di Bernoulli, ad esempio potrebbe

essere che per ognuno di questi intervalli si lancia in alto una moneta, se

esce testa avremo un evento mentre se esce croce lasceremo vuoto

l’intervallo. Gli eventi di Bernoulli sono particolarmente facili da simulare al

calcolatore poiché basta simulare delle prove di Bernoulli e decidere nei vari

intervallini se deve esserci un evento o no.

A partire da questi eventi di Bernoulli possiamo arrivare, con procedimento al

limite, agli eventi di Poisson.

EVENTI DI POISSON

Consideriamo degli eventi di Bernoulli in cui la probabilità di successo è

proporzionale alla larghezza degli intervalli cioè p= , possiamo vedere gli

eventi di Poisson come degli eventi di Bernoulli in cui T->0, quindi

consideriamo degli eventi di Bernoulli in cui la discretizzazione dell’asse dei

tempi diventa sempre più fine, da un certo punto di vista questa definizione è

meno rigorosa di altre definizioni possibili e più avanti in questo capitolo

forniremo anche delle definizioni più rigorose degli eventi di Poisson, tuttavia

possiamo anticipare che queste definizioni sono molto meno espressive

mentre per come siamo arrivati attraverso gli eventi di Bernoulli risulta

abbastanza chiaro quale è la natura di questi eventi di Poisson, in pratica in

ogni intervallino piccolo c’è una probabilità che ci sia un evento o che non ci

sia un evento e questa probabilità è in qualche modo indipendente da quello

che è successo in precedenza e da quello che succederà in seguito perché

eredita questa proprietà dalle prove di Bernoulli.

Il parametro , che determina la probabilità di successo, è detto densità degli

eventi di Poisson.

Vediamo degli esempi degli eventi di Poisson:

·22 Emissione di particelle radioattive da parte di un materiale

radioattivo. In particolare è possibile in qualche modo ascoltare degli

eventi di Poisson e una di queste rappresentazioni acustiche può

essere quella del contatore di radioattività (o contatore Geigel) in cui

c’è un ticchettio quando viene rilevata l’emissione di una particella

radioattiva, questi ticchettii arrivano in modo casuale e la sequenza

può essere effettivamente descritta da un punto di vista probabilistico

come un processo di Poisson

·23 Arrivo di telefonate a un call center

·24 Accessi ad un sito web

·25 Passaggio di automobili al casello autostradale

·26 Bip dei lettori di codici a barre in un supermercato con molte

casse

In questi esempi bisogna pensare che essi mi forniscano delle semplificazioni

di processo di Poisson solo su una certa finestra temporale, infatti se ad

esempio consideriamo il casello autostradale è chiaro che nel cuore della

notte passano meno automobili quindi se pensiamo al processo di Bernoulli

iniziale come se la probabilità di successo, quindi la probabilità che in un

intervallino di tempo arrivi un’automobile, quindi ci sia un evento, è una

probabilità di successo che cambia nel tempo, quindi c’è una probabilità di

successo più alta all’ora di punta e più bassa di notte, quindi a rigore il

passaggio di un automobile al casello non sarà praticamente mai un processo

di Poisson, lo stesso potremo dire per le telefonate a un call center che in

alcuni orari saranno più frequenti e in altri meno, lo stesso vale per un sito

web etc…, quindi in una finestra temporale limitata potrebbero essere degli

eventi di Poisson ma una caratteristica fondamentale degli eventi di Poisson è

l’omogeneità che viene ereditata dall’evento di Bernoulli, infatti sappiamo

che le prove di Bernoulli hanno sempre la stessa probabilità di successo. Va

anche detto che riguardo agli eventi di Poisson si introducono anche gli eventi

di Poisson non omogenei, significa che la densità è una funzione del tempo,

quindi in alcuni momenti il processo di Poisson ha una densità maggiore,

quindi gli eventi sono più frequenti, in altri momenti invece potrebbe essere

minore, questo si può descrivere con una densità che sia funzione del

tempo.

Consideriamo l’ultimo esempio riportato: un evento di Poisson che può essere

anche ascoltato, se in un supermercato ci sono molte casse si sente un

sottofondo nelle orecchie di bip che sono le letture di codice a barre che

arrivano in maniera irregolare. Devono esserci molte casse perché una delle

caratteristiche degli eventi di Poisson è che è possibile anche che ci siano

eventi molto ravvicinati, questo viene ereditato dagli eventi di Bernoulli,

siccome ad ogni intervallino si fa una prova di Bernoulli ex novo allora è

chiaramente possibile avere due successi in due successive prove di

Bernoulli, in particolare quindi in un processo di Bernoulli in due intervallini

adiacenti. Quando faccio il limite per T->0 comunque rimane il concetto di

intervallini adiacenti quindi anche nel caso degli eventi di Poisson è

teoricamente possibile avere due eventi molto vicini; se io considero una

singola cassiera del supermercato fisicamente non può leggere dei codici a

barre senza avere un minimo di ritardo, quindi non è possibile

istantaneamente leggere un codice a barre e subito quello dopo senza un

ritardo di qualche tipo, quindi il bip di una singola cassiera non è sicuramente

assimilabile a un evento di Poisson mentre il sovrapporsi dei bip di diverse

cassiere assomiglia molto di più a degli eventi di Poisson, ci sono anche delle

ragioni teoriche nel senso che il sovrapporsi di più processi ad eventi che

sono quelli delle singole cassiere che non sono Poissoniani, sotto certe

condizioni questa sovrapposizione tende a diventare Poissoniana.

Definizione

Dati degli eventi di Poission, con N(t ) indichiamo la variabile casuale numero

a

di eventi che si verificano in un intervallo di lunghezza t .

a

Scrivendo N(t )=3 vuol dire che nell’intervallo indicato cadono 3 eventi di

a

Poisson.

Vogliamo ora capire la probabilità di avere un certo numero di eventi di

Poisson in un intervallo di lunghezza t .

a

Teorema

La probabilità che K eventi di Poisson cadano in un intervallo di lunghezza t è

a

data dalla seguente formula:

P(N(t )=K)= questa formula è detta Poissoniana.

a

Ovviamente è una variabile casuale discreta perché infatti prende solo valori

interi nel senso che nell’intervallo t è probabile che cadano 0 eventi,

a

potrebbero caderne 1, 2, 3, non possono cadere un numero negativo di

eventi, inoltre non c’è un limite superiore al numero degli eventi, se la

disegniamo è il classico pettine di impulsi:

La cui espressione è quella riportata dove è il k-esimo impulso

Questa è un’ulteriore variabile casuale che si aggiunge alle variabili casuali

che già conosciamo quindi domandiamoci anche quale sia il valore atteso e

quale sia la sua varianza. Un aspetto interessante è che la variabile casuale

di Poisson ha media uguale alla varianza, quindi:

·27 E[X]=

·28 Var[X]=

Questo potrebbe lasciarci perplessi perché ricordiamo che la varianza è un

quadrato rispetto alla media, quindi come è possibile che media e varianza

siano uguali se sappiamo che la varianza dimensionalmente è il quadrato

della media? In questo caso in realtà non c’è contraddizione perché in realtà

la variabile casuale non ha dimensioni, è un numero puro perché è il

conteggio del numero di eventi che si verificano nell’intervallo quindi può

accadere che la sua varianza sia uguale alla media.

Da questo risultato possiamo anche capire meglio il significato della densità

infatti quindi è la frequenza media dei nostri eventi di Poisson.

Vediamo un esempio: consideriamo le nascite in una clinica ostetrica e che

queste nascite siano assimilabili ad eventi di Poisson con neonati al

giorno, vorremmo calcolare:

·29 la probabilità di avere 0, 1, 2 neonati in un’ora

·30 La probabilità di avere almeno 1 neonato nel 1° minuto

dell’anno

Per risolvere la prima richiesta possiamo procedere come segue: l’unità di

misura del tempo è i giorni perché eventi/giorno quindi giorni.

Applichiamo ora la formula: P(N( )=0)= quindi è

abbastanza elevata la probabilità di non avere nascite in un’ora. La

probabilità di avere una nascita si esprime come P(N( )=1)=

, la probabilità di avere 2 nascite nella stessa ora

diventa invece: P(N( )=2)= .

Passiamo ora alla seconda richiesta, è importante come richiesta perché se

nasce un neonato il primo minuto dell’anno tipicamente verrà segnalato

come il primo nato dell’anno nuovo quindi potrebbe finire sui giornali etc…

Notiamo che la traccia ci chiede la probabilità di avere almeno un neonato e

non la probabilità di avere un solo neonato, possiamo quindi dire che la

probabilità di avere almeno un neonato è esprimibile come 1-P(nessun

neonato)=1-P(N( )=0) dove poiché è il primo minuto,

ora calolando P(N( )=0)= =>

dove l’approssimazione è stata fatta perché è piccolo e

è la probabilità di almeno un neonato

TEMPI DI INTERCORRENZA TRA EVENTI DI POISSON

Teorema

Se abbiamo eventi di Poisson con densità , il tempo di attesa X tra un

generico evento di Poisson e l’evento successivo è una variabile casuale

esponenziale con parametro .

Dimostrazione:

Calcoliamo la funzione di distribuzione di X del tempo di attesa:

F (x)=P(X<=x)=1-P(X>x) cioè la probabilità che il tempo d’attesa pe