Angoli, prodotto scalare e vettoriale

Somma di vettori:

· consideriamo due vettori e e vogliamo vedere come è fatto il

vettore somma

Ragionando in termini grafici abbiamo due modi per ottenere la

risultante di due vettori:

Metodo della poligonale: si prende il primo vettore e si

· ridisegna il secondo vettore in modo che la sua coda

coincida con la testa del primo vettore, il vettore risultante

è quello che va dalla coda del primo vettore alla testa del

secondo vettore:

Metodo del parallelogramma: si prende il primo vettore e si

· ridisegna il secondo in modo che le due code coincidano,

costruiamo il parallelogramma tracciando i due lati

rimanenti, la somma dei due vettori è data dal vettore

diagonale che va dalla coda comune ai due vettori fino al

vertice opposto:

Se abbiamo una somma di due o più vettori il metodo della

poligonale risulta più conveniente perché possiamo tracciare la

linea poligonale tutta una volta sola e poi partire dalla coda del

primo vettore per arrivare alla testa dell’ultimo, se invece

utilizzassi la regola del parallelogramma dovremmo ogni volta

ottenere la somma parziale di due vettori e procedere così,

diventerebbe quindi complicato.

7. Differenza tra vettori: come nell’algebra scalare a-b=a+(-b)

anche nell’algebra vettoriale , per ottenere il

vettore è il vettore ribaltato, cioè con stesso modulo,

direzione e verso opposto:

Per effettuare la somma possiamo usare uno dei due

metodi spiegati prima

Versori

Finora abbiamo ragionato per via grafica, in generale quando usiamo

degli strumenti grafici è difficile, se non in casi particolari, arrivare a

risultati quantitativi, arriviamo però a risultati qualitativi che sono

comunque utili e ci possono dare un’idea di come vanno le cose nel

problema che stiamo trattando e possono poi anche servirci come

criterio di verifica rispetto ai risultati che andremo a ottenere in modo

quantitativo attraverso altri strumenti.

Per arrivare a risultati quantitativi dobbiamo introdurre il versore che è

un particolare vettore.

Il versore è un qualunque vettore di modulo unitario.

Consideriamo un generico vettore e introduciamo il versore associato

al vettore , in generale il versore si indica con ed è definito come

cioè il rapporto tra il vettore e il suo modulo, notiamo che questo

è un prodotto scalare per vettore dove il vettore è e lo scalare è ,

inoltre avremo che il modulo del versore sarà dato dal modulo del

vettore per il valore assoluto dello scalare che è positivo:

quindi abbiamo effettivamente a che fare con un versore poiché il suo

modulo è unitario. La direzione del versore è la stessa del vettore in

quanto come detto lo scalare per il quale stiamo moltiplicando il

vettore è positivo, anche il verso di è lo stesso di in quanto di

nuovo abbiamo a che fare con una quantità positiva.

Dunque il versore associato a un vettore è un vettore di modulo

unitario che ha stessa direzione e stesso verso del modulo di partenza.

Avendo introdotto il versore associato a un vettore abbiamo un modo

molto elegante per esprimere un vettore separando il suo modulo da

una quantità che riassume direzione e verso, perché a questo punto

posso scrivere e questo è il prodotto id uno scalare per un

vettore dove lo scalare è il modulo del vettore e il vettore è il versore

associato al vettore. Chiaramente il modulo del vettore contiene tutta e

sola l’informazione relativa all’intensità del vettore stesso, non

contiene alcuna informazione relativa alla direzione del vettore,

viceversa il versore associato non contiene alcuna informazione

relativa all’intensità del vettore ma contiene tutta e sola l’informazione

relativa alla direzione e al verso del vettore stesso.

I versori particolarmente importanti sono quelli cartesiani, cioè quelli

relativi ai 3 assi cartesiani:

dove è il versore coordinato per l’asse x, è il versore coordinato per

l’asse y e è il versore coordinato per l’asse z. Sono quindi 3 versori

che identificano le 3 direzioni degli assi coordinati nello spazio

Scomposizione di un vettore

E’ l’operazione opposta della somma di vettori, vogliamo esprimere un

vettore come somma di altri vettori, si deduce quindi che non abbiamo

a che fare con una operazione univoca, ciò un vettore può essere

somma di diverse coppie di vettori, ci concentriamo però sulla

scomposizione cartesiana di vettori, cioè vogliamo scrivere il nostro

vettore come risultante di 2 o 3 vettori che sono paralleli agli assi

coordinati x, y e z (nel caso di un piano solo x e y).

Lavoriamo nel piano:

a questo punto scriveremo:

Possiamo inoltre scrivere e .

In generale la corrispondenza che abbiamo tra vettori componenti e

componenti è un po' più delicata nel senso che essendo la componente

una quantità scalare dotata di segno la corrispondenza con il versore

componente riguarderà il modulo del vettore componente che sarà

uguale al valore assoluto della componente.

Consideriamo un esempio nel 4° quadrante:

potremo quindi scrivere e di nuovo questi vettori

componenti hanno una parentela stretta con le componenti ma se

volessimo scrivere ora in termini di versori coordinati i due vettori

componenti dovremo scrivere: e ma ora dal momento

che è negativo il vettore non è più parallelo e concorde rispetto

all’asse y ma è parallelo e discorde, quindi ai moduli dei vettori

componenti corrispondono i valori assoluti delle componenti in quanto

dobbiamo avere a che fare con tutte quantità positive.

Quindi essendo la scomposizione dei vettori lungo gli assi cartesiani

una operazione che ci dà un risultato univoco, un vettore risulta

univocamente determinato dai suoi vettori componenti e quindi per il

ragionamento fatto dalle sue componenti. Quindi dato un vettore sono

univocamente determinate le componenti e date le componenti di un

vettore esso è univocamente determinato.

Possiamo ora scrivere analiticamente la somma dei vettori:

e

da cui

quindi date le componenti cartesiane del vettore possiamo scrivere

analiticamente la somma di due vettori e abbiamo che ciascuna

componente del vettore somma non è altro che la somma delle

corrispondenti componenti, cioè la componente lungo x del vettore

somma è la somma delle componenti lungo x dei vettori addendi e la

componenti lungo y del vettore somma è la somma delle componenti

lungo y dei vettori addendi.

Analogamente nel caso tridimensionale.

Nel caso della differenza avrei:

Prodotto scalare e vettoriale

Il prodotto scalare di due vettori restituisce una quantità scalare, quindi

i fattori sono vettori ma il risultato è uno scalare. Il prodotto vettoriale

restituisce un risultato vettoriale a partire da due fattori che sono

vettori.

8. Prodotto scalare:

dove a e b sono i moduli, inoltre è l’angolo compreso tra i due

vettori, tra due vettori ci possono però essere due angoli:

i due angoli sono però e e il coseno non cambia, tuttavia

dovrà essere il più piccolo dei due angoli compresi.

Il prodotto scalare ci restituisce una quantità dotata di segno che

dipenderà dal valori dell’angolo compreso in quando a>0, b>0

mentre cos( ) può essere positivo o negativo, essendo infatti

dunque tra 0 e π/2 avremo che , viceversa

andando da π/2 a e π il valore di diventa negativo quindi il

risultato del prodotto scalare sarà positivo se l’angolo

viceversa sarà negativo quando e in particolare avremo

che: Se cioè i due vettori sono paralleli e concordi il valore

· del prodotto scalare sarà massimo:

e avremo che:

Se :

· avremo che

Vettori ortogonali, cioè :

· Se

· Se

·

Questi ci suggeriscono che il significato che possiamo attribuire

al prodotto scalare è legato al grado di parallelismo dei due

vettori di cui stiamo facendo il prodotto scalare. Notiamo che in

termini di valore assoluto il prodotto scalare risulta massimo

quando i due vettori sono paralleli, cioè giacciono sulla stessa

retta, man mano invece che i due vettori tendono ad essere

ortogonali il valore assoluto del prodotto scalare tende a

diminuire, inoltre il segno del prodotto scalare ci dice se il grado

id parallelismo è concorde o discorde.

Consideriamo il seguente esempio:

Scriveremo ma notiamo che

è la proiezione di b lungo il vettore a, analogamente per

Caso particolare:

Valgono tutte le proprietà che valgono nel caso di prodotto tra

scalari, quindi commutativa, associativa, distributiva etc…

Notiamo che abbiamo espresso il prodotto scalare ragionando in

termini di modulo e direzione, infatti l’angolo determina la

direzione, spesso è però utile ragionare in termini di componenti

del vettore quindi andiamo a scrivere i vettori e in termini

delle loro componenti e facciamo il prodotto scalare:

e

facendo il prodotto otterremo:

notiamo però che perché sono paralleli, inoltre

perché sono ortogonali, analogamente per

, come risultato

avremo quindi:

quindi in termini di componenti cartesiane il prodotto scalare di

due vettori è dato dalla somma delle componenti omonime

Prodotto vettoriale:

· consideriamo i due vettori e , il prodotto vettoriale dà come

risultato un vettore

Il vettore sarà caratterizzato da modulo, direzione e verso, in

particolare:

Modulo:

· c=a b sin( )

dove è l’angolo minore tra i due angoli compresi tra i due

vettori

Direzione:

· è ortogonale al piano individuato dal vettore e dal vettore

Verso:

· si fa riferimento alla regola della mano destra: pollice

corrisponde al primo vettore, l’indice al secondo e il medio

indica il vettore risultato, in questo caso sarà uscente

Se volessimo attribuire un qualche significato geometrico al

prodotto vettoriale questo sarebbe duale a quello che vorremmo

attribuire al prodotto scalare, infatti se i due moduli sono paralleli

il prodotto vettoriale è nullo, viceversa avrà modulo massimo se i

due vettori sono ortogonali, quindi se il prodotto scalare ci dà

un’idea del grado di parallelismo dei vettori di cui facciamo il

prodotto, viceversa il prodotto vettoriale ci dà un’idea del grado

di ortogonalità dei due vettori

Dalla definizione data il prodotto vettoriale gode di tutte le

proprietà di cui gode il prodotto scalare, quindi di cui gode il

prodotto