Angoli, prodotto scalare e vettoriale

Somma di vettori

Consideriamo due vettori e vogliamo vedere come è fatto il vettore somma. Ragionando in termini grafici abbiamo due modi per ottenere la risultante di due vettori:

Metodo della poligonale

Si prende il primo vettore e si ridisegna il secondo vettore in modo che la sua coda coincida con la testa del primo vettore. Il vettore risultante è quello che va dalla coda del primo vettore alla testa del secondo vettore.

Metodo del parallelogramma

Si prende il primo vettore e si ridisegna il secondo in modo che le due code coincidano. Costruiamo il parallelogramma tracciando i due lati rimanenti; la somma dei due vettori è data dal vettore diagonale che va dalla coda comune ai due vettori fino al vertice opposto.

Se abbiamo una somma di due o più vettori, il metodo della poligonale risulta più conveniente perché possiamo tracciare la linea poligonale tutta una volta sola e poi partire dalla coda del primo vettore per arrivare alla testa dell'ultimo. Se invece utilizzassimo la regola del parallelogramma dovremmo ogni volta ottenere la somma parziale di due vettori e procedere così, diventerebbe quindi complicato.

Differenza tra vettori

Come nell'algebra scalare \(a-b=a+(-b)\), anche nell'algebra vettoriale, per ottenere il vettore è il vettore ribaltato, cioè con stesso modulo, direzione e verso opposto. Per effettuare la somma possiamo usare uno dei due metodi spiegati prima.

Versori

Finora abbiamo ragionato per via grafica; in generale, quando usiamo degli strumenti grafici è difficile, se non in casi particolari, arrivare a risultati quantitativi. Arriviamo però a risultati qualitativi che sono comunque utili e ci possono dare un’idea di come vanno le cose nel problema che stiamo trattando e possono poi anche servirci come criterio di verifica rispetto ai risultati che andremo a ottenere in modo quantitativo attraverso altri strumenti.

Per arrivare a risultati quantitativi dobbiamo introdurre il versore, che è un particolare vettore. Il versore è un qualunque vettore di modulo unitario. Consideriamo un generico vettore e introduciamo il versore associato al vettore. In generale il versore si indica con e viene definito come il rapporto tra il vettore e il suo modulo, notiamo che questo è un prodotto scalare per vettore dove il vettore è e lo scalare è, inoltre avremo che il modulo del versore sarà dato dal modulo del vettore per il valore assoluto dello scalare che è positivo: quindi abbiamo effettivamente a che fare con un versore poiché il suo modulo è unitario.

La direzione del versore è la stessa del vettore in quanto, come detto, lo scalare per il quale stiamo moltiplicando il vettore è positivo. Anche il verso di è lo stesso di in quanto di nuovo abbiamo a che fare con una quantità positiva. Dunque, il versore associato a un vettore è un vettore di modulo unitario che ha stessa direzione e stesso verso del modulo di partenza.

Avendo introdotto il versore associato a un vettore, abbiamo un modo molto elegante per esprimere un vettore separando il suo modulo da una quantità che riassume direzione e verso, perché a questo punto posso scrivere e questo è il prodotto di uno scalare per un vettore dove lo scalare è il modulo del vettore e il vettore è il versore associato al vettore.

Chiaramente, il modulo del vettore contiene tutta e sola l’informazione relativa all’intensità del vettore stesso, non contiene alcuna informazione relativa alla direzione del vettore; viceversa, il versore associato non contiene alcuna informazione relativa all’intensità del vettore ma contiene tutta e sola l’informazione relativa alla direzione e al verso del vettore stesso.

I versori particolarmente importanti sono quelli cartesiani, cioè quelli relativi ai 3 assi cartesiani: dove è il versore coordinato per l’asse x, è il versore coordinato per l’asse y e è il versore coordinato per l’asse z. Sono quindi 3 versori che identificano le 3 direzioni degli assi coordinati nello spazio.

Scomposizione di un vettore

È l’operazione opposta della somma di vettori; vogliamo esprimere un vettore come somma di altri vettori. Si deduce quindi che non abbiamo a che fare con una operazione univoca, ciò un vettore può essere somma di diverse coppie di vettori. Ci concentriamo però sulla scomposizione cartesiana di vettori, cioè vogliamo scrivere il nostro vettore come risultante di 2 o 3 vettori che sono paralleli agli assi coordinati x, y e z (nel caso di un piano solo x e y).

Lavoriamo nel piano: a questo punto scriveremo: Possiamo inoltre scrivere e. In generale la corrispondenza che abbiamo tra vettori componenti e componenti è un po' più delicata nel senso che essendo la componente una quantità scalare dotata di segno la corrispondenza con il versore componente riguarderà il modulo del vettore componente che sarà uguale al valore assoluto della componente.

Consideriamo un esempio nel 4° quadrante: potremo quindi scrivere e di nuovo questi vettori componenti hanno una parentela stretta con le componenti ma se volessimo scrivere ora in termini di versori coordinati i due vettori componenti dovremo scrivere: e ma ora dal momento che è negativo il vettore non è più parallelo e concorde rispetto all’asse y ma è parallelo e discorde, quindi ai moduli dei vettori componenti corrispondono i valori assoluti delle componenti in quanto dobbiamo avere a che fare con tutte quantità positive.

Quindi, essendo la scomposizione dei vettori lungo gli assi cartesiani una operazione che ci dà un risultato univoco, un vettore risulta univocamente determinato dai suoi vettori componenti e quindi per il ragionamento fatto dalle sue componenti. Quindi, dato un vettore sono univocamente determinate le componenti e date le componenti di un vettore esso è univocamente determinato.

Possiamo ora scrivere analiticamente la somma dei vettori: e da cui quindi date le componenti cartesiane del vettore possiamo scrivere analiticamente la somma di due vettori e abbiamo che ciascuna componente del vettore somma non è altro che la somma delle corrispondenti componenti, cioè la componente lungo x del vettore somma è la somma delle componenti lungo x dei vettori addendi e la componente lungo y del vettore somma è la somma delle componenti lungo y dei vettori addendi. Analogamente nel caso tridimensionale. Nel caso della differenza avrei:

Prodotto scalare e vettoriale

Il prodotto scalare di due vettori restituisce una quantità scalare, quindi i fattori sono vettori ma il risultato è uno scalare. Il prodotto vettoriale restituisce un risultato vettoriale a partire da due fattori che sono vettori.

Prodotto scalare

Dove a e b sono i moduli, inoltre è l’angolo compreso tra i due vettori, tra due vettori ci possono però essere due angoli: i due angoli sono però e e il coseno non cambia, tuttavia dovrà essere il più piccolo dei due angoli compresi.

Il prodotto scalare ci restituisce una quantità dotata di segno che dipenderà dal valore dell’angolo compreso in quanto a>0, b>0 mentre cos() può essere positivo o negativo, essendo infatti dunque tra 0 e π/2 avremo che , viceversa andando da π/2 a e π il valore di diventa negativo quindi il risultato del prodotto scalare sarà positivo se l’angolo viceversa sarà negativo quando e in particolare avremo che:

• Se cioè i due vettori sono paralleli e concordi il valore del prodotto scalare sarà massimo: e avremo che.
• Se : avremo che.
• Vettori ortogonali, cioè:.

Questi ci suggeriscono che il significato che possiamo attribuire al prodotto scalare è legato al grado di parallelismo dei due vettori di cui stiamo facendo il prodotto scalare. Notiamo che in termini di valore assoluto il prodotto scalare risulta massimo quando i due vettori sono paralleli, cioè giacciono sulla stessa retta, man mano invece che i due vettori tendono ad essere ortogonali il valore assoluto del prodotto scalare tende a diminuire, inoltre il segno del prodotto scalare ci dice se il grado di parallelismo è concorde o discorde.

Consideriamo il seguente esempio: Scriveremo ma notiamo che è la proiezione di b lungo il vettore a, analogamente per Caso particolare: Valgono tutte le proprietà che valgono nel caso di prodotto tra scalari, quindi commutativa, associativa, distributiva etc… Notiamo che abbiamo espresso il prodotto scalare ragionando in termini di modulo e direzione, infatti l’angolo determina la direzione, spesso è però utile ragionare in termini di componenti del vettore quindi andiamo a scrivere i vettori e in termini delle loro componenti e facciamo il prodotto scalare: e facendo il prodotto otterremo: notiamo però che perché sono paralleli, inoltre perché sono ortogonali, analogamente per , come risultato avremo quindi: quindi in termini di componenti cartesiane il prodotto scalare di due vettori è dato dalla somma delle componenti omonime.

Prodotto vettoriale

Consideriamo i due vettori, il prodotto vettoriale dà come risultato un vettore. Il vettore sarà caratterizzato da modulo, direzione e verso, in particolare:

• Modulo: c = a b sin() dove è l’angolo minore tra i due angoli compresi tra i due vettori.
• Direzione: è ortogonale al piano individuato dal vettore e dal vettore.
• Verso: si fa riferimento alla regola della mano destra: pollice corrisponde al primo vettore, l’indice al secondo e il medio indica il vettore risultato, in questo caso sarà uscente.

Se volessimo attribuire un qualche significato geometrico al prodotto vettoriale questo sarebbe duale a quello che vorremmo attribuire al prodotto scalare, infatti se i due moduli sono paralleli il prodotto vettoriale è nullo, viceversa avrà modulo massimo se i due vettori sono ortogonali, quindi se il prodotto scalare ci dà un’idea del grado di parallelismo dei vettori di cui facciamo il prodotto, viceversa il prodotto vettoriale ci dà un’idea del grado di ortogonalità dei due vettori.

Dalla definizione data il prodotto vettoriale gode di tutte le proprietà di cui gode il prodotto scalare.