Prove d'esame Geometria

Prova di Geometria 06/11/2023

COGNOME

NOME

MATRICOLA

Leggere attentamente prima di iniziare:

• Rispondere in maniera chiara, motivando ogni passaggio che porta alla risposta finale.
• Severamente vietato l'utilizzo di libri o appunti e qualsiasi dispositivo elettronico.
• Scrivere i propri Cognome, Nome in alto nella prima pagina di tutti i fogli usati.
• Durata prova 75 minuti. Non è consentito lasciare l'aula prima del termine della prova. Consegnare tutti i fogli usati.

Esercizio I (12 pt)

Siano assegnate le seguenti matrici

(1) Calcolare il determinante delle matrici A|B e A|C.

(2) Studiare la risolubilità dei sistemi lineari AX = B e AX = C; (dire cioè se il sistema lineare è possibile o no e quante soluzioni ammette)

(3) Determinare tutte le soluzioni, se ce ne sono, dei...

sistemi lineari AX = B e AX = C.

Esercizio II (12 pt)

3 → Sia assegnato l'endomorfismo f: la cui matrice associata rispetto alle basi canoniche è

R R

 

1 1 1

2 2 2

 

 

4 4 4

3 ⊕

(1) Determinare una base e la dimensione e le equazioni di Ker(f) e Im(f). Dire se = Ker(f) Im(f).

(2) Verificare, usando la definizione, che (1, 2, 4) è un autovettore per f e calcolare l'autovalore corrispondente.

(3) Usando le informazioni ai punti precedenti, è possibile dire se f è semplice e determinare una base di autovettori? Dire, motivando la risposta, se esiste una base di rispetto alla quale la matrice associata ad f è

 

0 1 0

0 0 0

 

 

0 0 7

Esercizio III (9 pt)

3

Siano assegnati i quattro punti di R −1), A = (0, 0, B = (0, 1, 0), C = (1, 1, 1), D = (1, 0, 0).

(1) Verificare che i quattro punti appartengono ad su uno stesso piano π, determinare l'equazione cartesiana del piano che li contiene;

(2) determinare la retta r

La retta r è data dall'equazione x + y = 1.

La retta s è data dall'equazione y + z = 0.

Per determinare la retta passante per A e ortogonale a r e s, dobbiamo trovare un vettore direttore ortogonale sia a r che a s.

Il vettore direttore di r è dato da (1, -1, 0) e il vettore direttore di s è dato da (0, 1, -1).

Per trovare un vettore ortogonale a entrambi i vettori direttori, possiamo calcolare il prodotto vettoriale tra di essi.

Il prodotto vettoriale tra (1, -1, 0) e (0, 1, -1) è dato da:

(-1 * -1 - 0 * 1, 1 * 0 - (-1) * 0, 1 * 1 - (-1) * 0) = (1, 0, 1).

Quindi, il vettore direttore della retta passante per A e ortogonale a r e s è (1, 0, 1).

L'equazione della retta passante per A e ortogonale a r e s può essere scritta come:

x - x_A = t * 1, y - y_A = t * 0, z - z_A = t * 1,

dove (x_A, y_A, z_A) sono le coordinate del punto A.