Più di 15 esami svolti di Campi elettromagnetici

L

risulta: 2 2

|E | |E |

1 h R 1 h 50

ef f L ef f −16

·

P = = = 3.8686 10 W (31)

2 2 2

|Z | |73

2 + Z 2 + j 42 + 50|

in L Z =50

L

che risolve il secondo quesito.

Quest’ultimo si può risolvere anche senza determinare la tensione di circuito aperto. Infatti,

notando che: · ·

P 4 73 50

2 = = 0.8643 (32)

2

|73

P + j 42 + 50|

1

si perviene rapidamente al risultato richiesto dal secondo quesito, ovvero:

P 2 −16 −16

· · ·

P = P = 0.8643 4.4762 10 = 3.8686 10 W (33)

2 1

P 1

Si noti, infine, che è possibile risolvere l’esercizio anche evitando di passare dal calcolo della

potenza incidente sull’antenna, ma calcolando direttamente la tensione a vuoto. Infatti, per

definizione, il legame tra area efficace e altezza efficace è il seguente:

2

|h | ζ

ef f 0

A = (34)

ef f 4R in 9

da cui si ottiene il valore dell’altezza efficace

s 4R A

in ef f

|h | ≈

= 0.6817 m (35)

ef f ζ

0

nota l’altezza efficace, la tensione a vuoto si può calcolare direttamente con la definizione:

−6 −7

|E | · · ·

V = h = 75 10 0.6817 = 5.1128 10 V (36)

oc ef f

e quindi calcolare la potenza assorbita dal carico nei due casi proposti seguendo i calcoli delle

(29) e (31).

COMPITO DEL 28.01.2018

ESERCIZIO 1

Un’onda piana incide normalmente alla superficie del mare. La densità di potenza dell’onda

2

incidente è di 13.3 µW/m . Si calcoli la profondità massima z a cui il campo è ricevibile,

max

sapendo che il minimo segnale rilevabile ha un’intensità di campo di 1 µV/m, La conducibilità

dell’acqua marina è pari a σ = 4 S/m e la sua costante dielettrica relativa è pari a ε = 80. La

r

frequenza di trasmissione è pari a 100 kHz.

ESERCIZIO 2

Si consideri il circuito mostrato in figura, in cui Z = 50 Ω, Z = 30 Ω, l = 0.675λ, l =

01 02 1 2

0 0

0.125λ, l = 0.25λ. Tra la sezione AA e BB si misura un ROS pari a 3.0, con il primo massimo

4 0

di tensione alla distanza di 0.125λ dalla sezione AA .

Si chiede di:

1. determinare il valore del carico Z ;

L

0 0

−

2. calcolare il ROS nel tratto BB CC ;

3. determinare il valore di Z e la lunghezza l (minima) che permettano l’adattamento alla

03 3

0

sezione DD .

D C B A

l l l

4 3 1 Z

Z Z Z Z L

01 03 01 01

Z 02

0 0 0 0

D C B A

Z L

l

2

ESERCIZIO 3

Un dec accordato (quindi con impedenza di ingresso puramente reale) è connesso a un gene-

ratore tramite una linea di trasmissione di impedenza caratteristica Z = 50 Ω. Il generatore

0

opera alla frequenza di 400 MHz e dispone di una potenza pari a 1 W. Il dec è lungo ∆z = λ/20.

Si chiede di:

1. Calcolare la potenza trasmessa dal dec;

2. Calcolare la potenza ricevuta da un dec identico (quindi accordato), chiuso su un carico

adattato, posto a distanza d = 500 m dal dec sorgente, e ad esso parallelo.

2

Soluzione:

ESERCIZIO 1

La soluzione del problema passa dall’analogia con le linee. Il problema infatti è analogo al

seguente: ⇒ Z = ζ

ζ

ζ ζ L H O

H O

0 0 2

2

È immediato verificare che l’acqua marina può essere considerata un buon conduttore alla fre-

quenza considerata, ovvero f =100 kHz. Infatti, a questa frequenza il criterio di buon conduttore

è pienamente soddisfatto:

σ 4 3

·

= = 8.9876 10 1 (1)

3

· · · ·

ω 2π 100 10 80

0

In questo caso è possibile quindi calcolare l’impedenza intrinseca ζ del mezzo come

H O

2

r πf µ = (1 + j) 0.3142 Ω (2)

ζ = (1 + j)R = (1 + j)

H O s

2 σ

Dalla densità di potenza incidente S è possibile ricavare il valore del modulo del campo elettrico

i

incidente E , ricordando che

i √

p −5

· · ·

|E | 2ζ S = 2 120π 1.33 10 = 0.1 V/m (3)

= 0 i

i

Il campo trasmesso nel mare è legato al campo incidente tramite il coefficiente di trasmissione.

Note le impedenze intrinseche dei due mezzi, è immediato calcolare T :

2ζ −3

·

T = = (1 + j)1.66 10 (4)

ζ + ζ 0

Il modulo del campo trasmesso all’interno del secondo mezzo, in corrispondenza dell’interfaccia

aria/acqua vale quindi: |E |T |

(0)| = E = 235 µV/m (5)

t i

Allontanandosi dall’interfaccia il campo si attenua esponenzialmente, secondo la legge

−z/δ

|E |E

(z)| = (0)|e (6)

t t

dove δ è la profondità di penetrazione, che corrisponde al valore

1 1

√ √

=

δ = = 0.7958 m (7)

πf µσ −7

3

· · · · ·

π 100 10 4π 10 4 3

pertanto, l’andamento del campo elettrico una volta che l’onda è entrata in acqua è:

−1.2566z

|E |E

(z)| = (0)|e µV/m (8)

t t

la sensibilità proposta dal problema, ovvero il segnale minimo ricevibile è di 1 µV/m. sosti-

tuendo questo valore nell’equazione precedente si ottiene il valore di z cercato:

max

1 = 235 exp(−1.2566z ) (9)

max

da cui si ottiene la profondità massima raggiungibile, ovvero:

ln(235) = 4.35 m (10)

z =

max 1.2566

ESERCIZIO 2

Il primo quesito dell’esercizio chiede di determinare Z conoscendo il valore del ROS nel tratto

L

0 0

−

nella sezione AA BB , ovvero subito prima del carico. 0 |Γ|

Noto il valore di ROS, è immediato calcolare il modulo di Γ a sinistra di AA . Il modulo

risulta pari a: − −

ROS 1 3 1

|Γ| |Γ |

= = = = 0.5 (11)

0

AA ROS + 1 3+1 18

È noto che il primo massimo viene osservato alla distanza l = 0.125λ = λ. Dal momento

min

che l’andamento di Γ rispetto alla lunghezza è il seguente

Γ(l) = Γ(0) exp(2 j kl) (12)

allora si può scrivere che:

2π λ π

−2 − −

0.5 = Γ(l ) = Γ exp j = Γ exp j = j Γ (13)

0 0

0

ROS AA AA AA

λ 8 4

quindi Γ è j 0.5. A questo valore del coefficiente di riflessione corrisponde l’impedenza

0

AA

normalizzata cercata: 1 + Γ 1 + j 0.5 3 4

0

AA

z = = = +j (14)

0

AA − −

1 Γ 1 j 0.5 5 5

0

AA

Allo stesso risultato si può pervenire per via grafica utilizzando la carta di Smith:

4 1

0.5 2

0.125λ

z 0

AA

0.2 5

0.2 0.5 1 2 5

ROS

0 −5

−0.2 −2

−0.5 −1

Noto il carico normalizzato z è immediato determinare il carico denormalizzato Z :

0

AA L

4

3 +j

Z = Z z = 30 + j 40 (15)

= 50

0

L 01 AA 5 5 0

Per il secondo punto, è necessario determinare l’impedenza complessiva vista a destra di BB ,

+

ovvero Z . Questa si compone del parallelo dei due rami indicati nel circuito, entrambi

BB

terminati dal carico Z , ma caratterizzati da due diverse impedenze caratteristiche. Come

L

spesso in questi casi, conviene operare direttamente in termini di ammettenza.

Per quanto riguarda il tratto superiore, si trova innanzitutto l’ammettenza normalizzata:

1

−1 −1 −

y = z = z = = 0.6 j 0.8 (16)

L 0

L AA

1 0.6 + j 0.8

1 0 0

−

cosa facilmente ottenibile anche dalla carta di Smith. Dal momento che il tratto AA BB è

lungo 0.675λ, ovvero 0.175λ + un ininfluente giro completo di fase, si ha la situazione descritta

nella seguente carta di Smith: 5

1

0.5 2 C B A

l 1 Z

Z Z L

01 01

z

0.2 0 5

y L

L

1 Z 02

0 0 0

C B A

Z

0.2 0.5 1 2 5 L

l 2

0 C B

−5 0

−0.2 Y

Z 01 L

1

y

L 1 Z 02

0 0

C B Z

−2 L

−0.5 l 2

−1

Sulla carta di Smith si legge il valore: 0

y = 0.36 + j 0.29 (17)

L 1

Alla stessa stima si perviene utilizzando la formula analitica del trasporto di impedenza:

y + j tan (2πl )

L 1

0 1

y = = 0.364 + j 0.285 (18)

L 1 + y tan (2πl )

1 L 1

1

L’ammettenza denormalizzata vale quindi:

0

y L −3

0 ·

1 = (7.28 + j 5.7) 10 S (19)

Y =

L Z

1 01

Per quanto riguarda il tratto inferiore, si ha la stessa impedenza di carico Z , ma una diversa

L

impedenza caratteristica della linea. L’impedenza normalizzata è quindi differente rispetto al

primo ramo, e vale: Z 30 + j 40 4

L ≈

z = = = 1 + j 1 + j 1.33 (20)

L 2 Z 30 3

02

similmente a quanto operato prima, si passa a determinare l’ammettenza normalizzata, inver-

tendo l’impedenza normalizzata o direttamente dalla carta di Smith, individuando il punto

diametralmente opposto alla prima. Numericamente:

1

−1 −

= 0.36 j 0.48 (21)

y = z =

L L

2 1 + j /

4

2 3 0

Dal momento che l = 0.125, l’ammettenza normalizzata riportata alla sezione BB è ottenuta

2

ruotando y di un quarto di giro di carta di Smith.

L 2

6 1

0.5 2 C B 0

Y

Z 01 L 1

0

0.2 5

y z

L L

2 Z 02

0 0

C B Z

0.2 0.5 1 2 5 L

l 2

0 C B

−5

y

−0.2 Y Y

Z

L L L

2 01 1 2

0 0

C B

−2

−0.5 −1

Dalla carta di Smith si ottiene il valore:

0

y = 0.3 + j 0.27 (22)

L

2

valore confermato dalla formula del trasporto di ammettenza:

y + j tan (2πl )

L 1

0 2

y = = 0.310 + j 0.276 (23)

L 1 + y tan (2πl )

2 L 1

2

a cui corrisponde infine l’ammettenza non normalizzata:

0

y 0.310 + j 0.276

L

0 −3

·

2

Y = = (10.33 + j 9.2) 10 S (24)

=

L Z 30

2 02 0

pertanto, l’ammettenza vista a sinistra di BB vale:

0 0 −3

·

Y = Y + Y = (17.61 + j 14.9) 10 S (25)

0

BB L L

1 2

che corrisponde all’impedenza: −1 −

Z = (Y ) = 33.08 j 27.96 (26)

0 0

BB BB

Il circuito è diventato quello in figura:

D C B

l l

4 3 Z

Z Z Z 0

BB

01 03 01

0 0 0

D C B 7

0 0

−

Adesso è quindi possibile determinare il ROS nel tratto BB CC . Il coefficiente di riflessione