Fisica 1 - Esercitazioni (parte meccanica)

VETTORI

1.es

Una nave percorre 120 km in una certa direzione poi vira di 37° a sinistra e procede per altri 70 km. Infine vira nuovamente a sinistra di 90° e raggiunge la sua destinazione dopo altri 100 km di navigazione.

Trovare:

1. il vettore spostamento totale r ed il suo modulo
2. l'angolo θ tra il primo spostamento e r
3. le possibili proiezioni dei 3 spostamenti lungo la direzione di r e la distanza totale percorsa

Sol:

1. Vettore r:

r⃗ = r⃗₁ + r⃗₂ + r⃗₃

r⃗₁ = 120 km î // noto dal problema

r⃗₂={ r_2x = 70 km cos(37°) = 55.9 km r_2y = 70 km sen(37°) = 42.1 km }

r⃗₂ = 55.9 km î + 42.1 km ĵ

F₃ = {

F_3x = 100 km cos(θ₂ + θ₃) = 100 km cos(56°) = 55,8 km

F_3y = 100 km sen(θ₂ + θ₃) = 100 km sen(56°) = 82,9 km

}

F = (120 km + 55,8 km) î + (0 + 82,9 km + 82,9 km) ĵ =

F = 232 km î + 125 km ĵ

|F| = √F_x² = √(232)² + (125)² = 263 km

b) Trovare l'angolo φ tra F₂ e F

Impostiamo l'inversa

cos φ = F_x . F / |F_x| . |F|

F = F_x î + F_y ĵ

F = F_x1 x î + F_y1 ĵ

cos φ =

r_x . r_x1 = 232 km . 120 km

|r| |r₁| 263 km . 120 km = 0,882

φ = arccos(0,882) = 28,1°

CINEMATICA

es1

Un corpo si muove lungo l'asse delle x di un certo sistema di riferimento con una velocità data

v(t) = v₀ – αt³

con v₀ = 1,70 m/s

α = 5,00 x 10^-3

nelle opportune unità di misura

1. Qual è l'unità di misura di α?
2. Sapendo che il corpo parte da una posizione x₀ = 5,3 m, quali sono le leggi orarie nelle posizioni x(t) e accelerazioni a(t)?
3. A quale distanza dall'origine del sistema di riferimento si trova il corpo quando la sua velocità si annulla?

Svolgimento

1. v(t) = v₀ – αt³
2. [v(t)] = L/T
3. [v₀ – αt³] = L/T ⇒ [αt³] = L/T
4. ⇒ [α]•[t³] = L/T
5. [α] • T³ = L/T
6. [α] = L/T⁴

α = 5 x 10^-3 m/s⁴

Dalla (2)

y(t_max) = v_o senθ t_max - ½ g t_max²

l_max = 2250 m

Gittata: distanza lungo l'asse x dall'origine quando il proiettile arriva a terra

Dalla (1)

d = x(t_r) = v_o cosθ t_r =

= v_o cosθ 2 v_o senθ

g

= 2v_o² cosθ senθ =

g

= v_o² sen(2θ) = 15600 m

g

sen(2θ) = 2cosθsenθ

formul. gittata quando h_i = 0

Si ha percio' che α è la meta di quell'angolo il cui seno è 0,784.

Ma di angoli il cui seno e' 0,784, ce ne sono due: 51,6° e 128,4°. Perciò il proiettile colpirà il bersaglio sia se il cannone verrà inclinato di θ=25,8° sia se verrà inclinato di α = 64,2°.

In generale fissato il modulo della velocita' iniziale e la distanza del bersaglio da colpire si hanno sempre 2 possibili inclinazioni del cannone.

es 7

Un punto materiale generico si muove lungo una traiettoria circolare di raggio R = 2,5 _m.

Supponendo inizi il suo moto con velocità v₀ = 10 m/s e che la sua accelerazione tangenziale valga -αg (con α = 0,3)

calcolare:

1. Le componenti radiali e tangenziali dell'accelerazione in modulo e direzione dopo che il corpo ha
2. fatto un giro completo
3. Il numero di giri completi percorsi dal corpo prima di arrestarsi.

Svolgimento:

Il moto è confinato su un cerchio, quindi moto circolare: ma l'acc. tangenziale non è nulla (at ≠ 0).

Quindi, il moto è ACCELERATO. In particolare at < 0, quindi il corpo decelera.

L'accelerazione è scomposta in

• at(t) = -αg
• ac(t) = v(t)²/R

Da cui:

• v(t) = v₀ - αgt + ¹/₂ at² (1)
• s(t) = s₀ + v₀t - ¹/₂ gt² (2)

2) UTILIZZANDO PARALLELA E PERPENDIC. AL PIANO

Usiamo un sistema di riferimento (SDR) definito dai versori:

• u_//: PARALLELO AL PIANO
• u_⊥: PERPENDIC. AL PIANO

VANTAGGIO: UNO DEGLI ASSI È ALLINEATO AL MOTO!!!

Da cui possiamo scomporreƒ = mg sen θ u_// + mg cos θ u_⊥

l_r = l_⊥

e l'accelerazione ã = a_//u_// + a_⊥u_⊥

Quindi usando ancora ƒ + l_r = maã

direzione // ma = mg sen θ (1)

direzione ⊥ ma = -mg cos θ + l (2)

Anche qui sono 2 equazioni per 3 incognite, ma possiamo scrivere la condizione di vincolo

l_⊥ = 0

Otteniamo quindi da (1)

a_⊥ = a_//u_// = a_//u_//

con a_// = mg sen θMOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO CON QUESTA a_//

Inoltre da (2)

l = mg cos θ

Il modulo della reazione vincolare l è sempre uguale alla componente della forza peso o altra perpendicolare alla superficie

Questa equazione è molto complicata da risolvere!

Di solito si considera l'approssimazione di piccoli angoli cioè θ << 1, che ha come conseguenza senθ ≈ θ.

⇒ _θ̈ = ^g/_ℓ θ

Per angoli piccoli

Dl l'equazione di Newton nella direzione perpendicolare al moto

ma_⊥ = T - mg cosθ

Ricordiamo che in moto circolare

a_⊥ = ^v2/_ℓ

e che v = ^ẋ = θ̇ℓ

⇒ mθ̇²ℓ = T - mg cosθ

⇒ T = mθ̇²ℓ + mg cosθ

3) Per trovare la pulsazione possiamo confrontare l'equazione del moto trovata

θ̈ = - ^g/_ℓ θ

con il moto armonico che si ottiene da una molla

ma = -kx

Da cui

^d2x/_dt² = - ^k/_m x

^d2x/_dt² = -ω²x dove ω = √^k/_m

è la pulsazione di oscillazione

Confrontando con

^d2θ/_dt² = - ^g/_ℓ θ

2 Dalla (a) inserendo (s)

T = _m2(^m1-m2/_m1+m2) g + m2 g =

= ^{m2 g m1-m2 + m1 ton2}/_m1+m2 =

= ^{2 m2 m2}/ (m1+m2) g = 115 N

3) N = 2T = 230 N

ES 9

Un blocco di massa m₂ è libero di muoversi su un piano orizzontale liscio e risulta collegato ad un molla di costante elastica K e lunghezza a riposo nulla.

Al blocco viene quindi collegata una fune inestensibile e di massa trascurabile, a sua volta collegata ad un blocco di massa m₁.

La fune viene fatta passare per una puleggia, in maniera tale che il secondo blocco si trovi sospeso in verticale.

Calcolare:

1. Trovare configurazione di equilibrio del sistema
2. Scrivere l'equazione del moto del sistema
3. Supponendo che il sistema parta in quiete ed allineamento nullo, quanto vale la velocità del sistema quando la molla è allungata di un tratto l?

Svolgim:

Sottosistema m₂

qui definiamo solo direzione degli assi (senza specificare origine)

I sottosistema m₂

com