Esercizi di Elettrotecnica sul metodo degli anelli e dei nodi

=1

= 1

$

=

+ ,

Calcolare attraverso il metodo di analisi su base anelli.

-

+

$

, +

1: 2

-

−

Soluzione:

+

&

." $

."

1: +

+

2

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−

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0 0 1 $ .!

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Vincoli:

= 2

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(

C = − ⟹

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2

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2 −1 1 0

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1

1 0 −2 ."

= 1 ⟹ = 1

⟹ ) -

4) Con riferimento al circuito in figura si assumano i seguenti valori:

=1

= 1

$

= 1

$

Calcolare attraverso il metodo di analisi su base anelli.

' 2

1: $

+

$ '

−

Soluzione: 2

1: " +

"

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− +

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+

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Equazione del trasformatore: = 2

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1

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2

Imposto il sistema su base anelli −

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% − −

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− 2 0 " *

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0 0 $ *

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3 equazioni, 6 incognite (

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Applico le equazioni del trasformatore

= 2

" ! 1 1 1

( )

− ⟹

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2 2 2

−

2

1 −1 0 ! $

& −2 −

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−1 2 0 ! *

& +

+

0 0 1 $ *

$ & −

−1 0 1 ! $

0

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2 1 0 *

−

0 −1 1 & $ $

−1 0 1

∆ = ; ; = −1 − 2 = −3

2 1 0

0 −1 1

−1 0 −1

; ;

2 1 0 2

0 −1 0

= = −

& 3

∆

= ∙

' ) 2 1 1

= + = 1 − = ⟹ =

) $ & '

3 3 3

5) Con riferimento al circuito in figura si assumano i seguenti valori:

= 1 = 1

! "

= 2

+" /

= 2 = 1

+! 0 $

Calcolare attraverso il metodo di analisi su base anelli.

- − +

1 $

1

1:2

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+!

− + -

+"

+

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0

−

0

Soluzione: −

1 0 0 +! 0

% − + + −

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0 0 0 +! 1 $ +"

& +

0 0 1 0 +"

)

3 equazioni, 7 incognite

Vincoli:

= 2 = 2

0 1 0 1 = 2

0 1

1 1 <

⟹

⟹ >

> = 2( − )

= − − = − (− ) & % )

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2 2

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) 4 − 2

1 0 0 1 1

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0 0 0 1 1 $ +"

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0 0 1 1 +"

)

) 2

1 0 0 1

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H = ; ;

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0 0 0 1 $ +"

− ) 2 +

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= 2 + = 0

−2

1 1

2 2

C C

⟹

0 = −3 + − + =

+3

1 $ +" 1 +" $

= 2 + −2 − + = 0

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0

−2 0 1/2 1

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0

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−2 0 1/2 5

∆= ; ;= −

3 1 0 2

−2 −1 1

−2 0 0

; ;

3 1 1 −2 4

−2 −1 0

= = =

2 −5 5

∆ J

2

4

= =

) - 5

6) Con riferimento al circuito in figura si assumano i seguenti valori:

= 1 = 2 = 10

! " #

= 10 = 2

$! $"

e

attraverso il metodo di analisi su base nodi.

Calcolare % &

"

! #

$! $"

Soluzione:

1 1 1

3

1+ − −

*10 *10

2 2 2

2

% %

* *

* *

* *

H H H

= =

⟹ H

1 1 1

1 3

2 2

& &

− + −

2 10 2

2 5

1

3 − 3 3 1 1 9 1 18 − 5 13

2

2 N−

H = ∙ − ∙ O− PQ = − = =

∆= det H 1 3 2 5 2 2 10 4 20 20

− 2 5 1

10 − 2 T

T

det 3

2 6 + 1 7 140

5

= = = =

% ∆ 13/20 13

∆

3 10

2

T T

det 1

− 2 3+5 8 160

2

= = = =

& ∆ 13/20 13

∆

7) Con riferimento al circuito in figura si assumano i seguenti valori:

= 25 = 10 = 50

! " #

= 100

$

= 5

$ e

attraverso il metodo di analisi su base nodi.

Calcolare % &

* "

! #

$

$

Soluzione:

= = 100

% $

1 7

1 1 1

+ − −

,100

25 50

10 10 10

% * *

* * , , , , ,

H H H

= ⟹ H =

1 1 1

1 3

& $ & $

− + −

10 10 10

50 25

& &

−

14 − = − = −14

* *

10 10

C

C ⟹

3 3

−10 + =5 = 15

& &

25 25

1

−1 − −14

10 *

, , * *

H H =

3 15

&

0 25 1

−1 − 3

10 H = −

∆= det H 3 25

0 25

−1 −14

* *

det −15

0 15

= = = 125

& −3/25

∆

8) Con riferimento al circuito in figura si assumano i seguenti valori:

=1

= 1

$ =

+ -

Calcolare il valore della tensione attraverso il metodo di analisi su base nodi.

'

2

1: +

-

+ −

'

$

Soluzione:

0

2 =

+ -

1:

- + $

1

Metodo dei nodi: − −

1 −1 0 1 0

; ; V V = ; ;

−1 2 0 +

− +

0 0 0 $ + 0

Vincoli:

= −2

1 0

= − = − ⟹ = 2 −

+

= 2

0 1

− = 2 ⟹ = −

⟹ = 2 − (−) ⟹ = 0 =

0

− =

0 = −

+

− + 2 = C

⟹

> +

0

− + = 0 = − = −2 ⟹ = −

$ + 0 $ + 0 2

1

= − = −

' 2

9) Con riferimento al circuito in figura si assumano i seguenti valori:

=1

= 4

$ =

+ ,

Calcolare il valore della corrente attraverso il metodo di analisi su base nodi.

-

$ +

+

1: 2

,

− -

Soluzione:

$

* +

+

1: 2

,

− -

= = =

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= 2

." .!

1

> = −

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2 −

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+

0 0 1 ) + *

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−

1 0 0 ) $ .!

2 − 2

; ; ; ; = H H

0 0 0 − − 2 + 2

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2

0 0 1 ) 2 − 2 +

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−1 1 1

$

.!

1 −

H ; ; = ; ;

H 0 2 $

*

2 −2

$

)

0 −1 −1

−1 1 1 1

1 (2)

∆ = H H = −1 − (0) = −2

0 2 2

2

0 −1 −1

−1 1

$ qui c'è un errore: deve essere Vc=-3/4Vg

1

det H H

− 0 2

$

2 1 1

−1(2 ) −2

− (−2 + ) +

0 −1 −2 $ $ $ $ $

2 2

$

= = = =

) −2

−2

∆

3

− $

2

= −2 quindi alla fine iR = -3A

3

(− /−2)

3

$

2

)