Esercizi Comunicazioni elettriche

ωT

2

sinc

Y (ω) = T

P 2π

e i coefficienti della serie di Fourier sono, detta Ω = 2π/P = 2π/(3T ),

2

sinc

T 1

(nΩT/(2π))

Y (nΩ)

P 2

sinc

= = (n/3)

c =

n P 3T 3

Risposta c

La trasformata di Fourier di h (t) vale

2 ! !

Y Y

T fT f

2 =

H ( f ) =

2 T 2 2 (2/T )

∈

cioè un rettangolo alto uno per f [−1/T, 1/T ]. Quindi ! !

X

3 k

1 k

2 −

sinc

Z( f ) = Y( f ) H ( f ) = f

δ

2 3 3 3T

k=−3

30

Capitolo 2

Campionamento e quantizzazione

Esercizio 2.1

Il segnale x(t) viene campionato rispettando la condizione di Nyquist con un periodo di campionamento

−2

T = 10 secondi. I campioni ottenuti sono:

c ( 1 per n = 0

x(nT ) =

c 0 per n 0

,

Trovare x(t).

Soluzione dell’Esercizio 2.1

Questo tipo di esercizi si può risolvere in due modi. Il primo, utile se la sequenza di campioni x(nT ) ha solo

c

pochi campioni diversi da zero, prevede di utilizzare la formula di interpolazione

!

X

∞ −

t nT c

x(nT ) sinc

x(t) = c T c

n=−∞

Il secondo modo consiste nel creare il segnale a tempo continuo

X

∞ −

x(nT )δ(t nT )

x (t) = c c

c n=−∞

quindi calcolarne la trasformata di Fourier, filtrarlo con il filtro di ricostruzione e antitrasformarlo.

Per questo esercizio il sistema più semplice è il primo, ma li vedremo entrambi.

Primo metodo. ! !

X

∞ −

t nT t

c sinc

x(nT ) sinc

x(t) = =

c T T

c c

n=−∞

Secondo metodo. X

∞ −

x(nT )δ(t nT ) =

x (t) = δ(t)

c c

c n=−∞

La sua trasformata di Fourier vale X ( f ) = 1

c

e corrisponde alla somma delle infinite repliche di X( f ) centrate su multipli della frequenza di campionamento

f = 1/T = 100 Hz.

c c

Utilizzando il filtro di ricostruzione visto, ovvero !

Y Y

f ( )

H ( f ) = T = T f T

R c c c

f c

si ricava immediatamente che Y ( )

X( f ) = X ( f )H ( f ) = T f T

c R c c

la cui antitrasformata vale !

t

sinc

x(t) = T c

31

Esercizio 2.2

Il segnale x(t) viene campionato rispettando la condizione di Nyquist con un periodo di campionamento T c

secondi. I campioni ottenuti sono: ( ±3, ±6, ±9, ±12...

1 per n = 0,

x(nT ) =

c 0 altrove

Trovare x(t) e verificare che dia origine ai campioni dati.

Soluzione dell’Esercizio 2.2 X

X ∞

∞ −

− 3nT )

x(nT )δ(t nT ) =

x (t) = δ(t c

c c

c n=−∞

n=−∞

che ha per trasformata !

X

∞ k

1 −

f

X ( f ) = δ

c 3T 3T

c c

k=−∞

ovvero infiniti impulsi in frequenza posizionati in zero e sulle armoniche di 1/(3T ) = f /3.

c c

Il filtro di ricostruzione ! Y

Y f ( )

= T f T

H ( f ) = T c c

R c f c

| |

è un rettangolo alto T per f 1/(2T ) = f Moltiplicando si ottiene

< /2.

c c c ! !#

"

1 1

1 1

−

X( f ) = X ( f )H ( f ) = + f +

f ) + f δ

δ( δ

c R 3 3 3T 3T

c c

antitrasformando !

1 t

2

x(t) = + cos 2π

3 3 3T c

Verifichiamo che x(t) dia origine ai campioni dati: !

2 0T

1 c

+ cos 2π = 1

x(0T ) =

c 3 3 3T c !

2 3kT 1 2

1 c

+ cos 2π = + cos(2kπ) = 1

x(3kT ) =

c 3 3 3T 3 3

c ! !

1

2 (3k + 1)T 2 2

1 c =

+ cos 2π + cos 2kπ + = 0

x((3k + 1)T ) = π

c 3 3 3T 3 3 3

c ! !

1 2 (3k + 2)T 2 4

1

c

x((3k + 2)T ) = 2π 2kπ + = 0

+ cos = + cos π

c 3 3 3T 3 3 3

c

Esercizio 2.3

Il segnale x(t) viene campionato rispettando la condizione di Nyquist con un periodo di campionamento T c

secondi. I campioni ottenuti sono: ( ±3, ±6, ±9, ±12...

1 per n =

x(nT ) =

c 0 altrove

Trovare x(t) e verificare che dia origine ai campioni dati.

Soluzione dell’Esercizio 2.3 

 X

X ∞

∞ 

 

 − −

−  3nT )

x(nT )δ(t nT ) =

x (t) = δ(t δ(t)

 c

c c

c n=−∞

n=−∞

che ha per trasformata !

 X

∞ 

 k

1

 

− −

 f 1

X ( f ) = δ



c 3T 3T

c c

k=−∞

32

−1

ovvero la somma della costante e di infiniti impulsi in frequenza posizionati in zero e sulle armoniche di

1/(3T ) = f /3.

c c

Il filtro di ricostruzione ! Y

Y f ( )

= T f T

H ( f ) = T c c

R c f c

| |

è un rettangolo alto T per f 1/(2T ) = f Moltiplicando si ottiene

< /2.

c c c " ! !# Y

1

1 1

1 − − ( )

f

f ) + + f + T f T

X( f ) = X ( f )H ( f ) = δ

δ( δ c c

c R 3 3 3T 3T

c c

antitrasformando !

1 2 t − sinc

x(t) = (t/T )

+ cos 2π c

3 3 3T c sinc

Verifichiamo che x(t) dia origine ai campioni dati, notando che (nT ) vale 1 per n = 0 e zero per n 0:

/T ,

c c

!

1 2 0T c −

x(0T ) = 1 = 0

+ cos 2π

c 3 3 3T c !

1 2 3kT 1 2

c

x(3kT ) = + cos 2π = + cos(2kπ) = 1 k 0

,

c 3 3 3T 3 3

c ! !

1

2 (3k + 1)T 2 2

1 c =

+ cos 2π + cos 2kπ + = 0

x(3(k + 1)T ) = π

c 3 3 3T 3 3 3

c !

!

2 (3k + 2)T 1 2 4

1 c

+ cos 2π = + cos 2kπ + = 0

x(3(k + 2)T ) = π

c 3 3 3T 3 3 3

c

Esercizio 2.4

Il segnale x(t) viene campionato rispettando la condizione di Nyquist con un periodo di campionamento T c

secondi. I campioni ottenuti sono: 

 ±5, ±10, ±15, ±20...

1 per n = 0,





 −1 ±3, ±6, ±9, ±12...

per n =

x(nT ) = 



c 

 0 altrove

Trovare x(t) e verificare che x(0T ) = 1.

c

Soluzione dell’Esercizio 2.4 

 

 X

X

X ∞

∞

∞ 

 

 

 

 −

− −

−  3nT ) +

5nT )

x(nT )δ(t nT ) =

x (t) = δ(t δ(t)

δ(t c

c

c c

c n=−∞

n=−∞

n=−∞

che ha per trasformata  ! !



X X

∞ ∞

  



k k

1 1

  



− −

−

f f

X ( f ) = + 1

δ δ 

c 5T 5T 3T 3T

c c c c

k=−∞ k=−∞

ovvero la somma della costante 1, di infiniti impulsi in frequenza posizionati in zero e sulle armoniche di

1/(5T ) = f e di infiniti impulsi in frequenza posizionati in zero e sulle armoniche di 1/(3T ) = f

/5 /3.

c c c c

Dopo il filtro di ricostruzione !

Y Y

f ( )

H ( f ) = T = T f T

R c c c

f c

resta " ! ! ! !#

1 1 2 2

1 − −

f ) + f + f + + f + f + +

X( f ) = X ( f )H ( f ) = δ( δ δ δ δ

c R 5 5T 5T 5T 5T

c c c c

" ! !# Y

1 1

1

1 −

−

− ( )

f + f + + T

f ) f T

δ δ

δ( c c

3 3 3T 3T

c c

33

antitrasformando ! ! !

2 2 1 2

2π 4π 2π

1 − − sinc (t/T )

+ cos t + cos t cos t +

x(t) = c

5 5 5T 5 5T 3 3 3T

c c c

! ! !

2 2 2π 2 4π 2 2π

− − sinc

= (t/T )

+ cos t + cos t cos t + c

15 5 5T 5 5T 3 3T

c c c

Verifichiamo che x(0T ) = 1.

c 2 2 2 2

− −

(0) (0) (0)

x(0T ) = + cos + cos cos + 1 = 1

c 15 5 5 3

Esercizio 2.5 2 −

sinc (200t 10) viene campionato alla minima frequenza di campionamento in grado di

Il segnale s(t) =

evitare aliasing. Supponendo che ogni campione venga rappresentato mediante 12 bit, determinare il numero

di bit necessario a memorizzare 15 minuti del segnale s(t).

Soluzione dell’Esercizio 2.5

2 2

− −

sinc sinc

(200t 10) = [200(t 0.05)] vale

La FT di s(t) = !

1 f − j2π0.05 f

Λ

S ( f ) = e

200 200

−200

ovvero un triangolo fra Hz e 200 Hz alto 1/200.

La minima frequenza di campionamento che evita aliasing è allora f = 400 Hz. Ci sono quindi 400 campioni

c

·

al secondo, da rappresentare mediante 12 400 = 4800 bit. In 15 minuti ci sono 15 cdot60 = 900 secondi e il

6

· ·

numero totale di bit richiesto è 4800 900 = 4320000 = 4.32 10 bit.

Esercizio 2.6

Si consideri il segnale y(t) = x(t) + x (t) + x (t)

1 2

dove x (t) = x(t) cos(2π f t) x (t) = x(t) cos(N 2π f t)

1 0 2 0

e x(t) è limitato in banda a B = 1 KHz. N è un numero intero maggiore di zero. Il segnale y(t) deve

essere campionato in modo tale da poter essere ricostruito a partire dai suoi campioni. La frequenza di

campionamento è f = 10 KHz.

c

Determinare i valori di f e N affinchè:

0

• i segnali di ingresso [x(t), x (t) e x (t)] siano spettralmente separati;

1 2

• si abbia perfetta ricostruzione di y(t);

• N sia massimo.

Soluzione dell’Esercizio 2.6

Il segnale y(t) si può scrivere come

y(t) = x(t) 1 + cos(2π f t) + cos(N 2π f t)

0 0

La sua FT vale #

" 1 1 1

1 − −

f f ) + f + f ) + f N f ) + f + N f )

Y( f ) = X( f ) f ) + δ( δ( δ( δ(

δ( 0 0 0 0

2 2 2 2

1 1 1 1

− −

= X( f ) + X( f f ) + X( f + f ) + X( f N f ) + X( f + N f )

0 0 0 0

2 2 2 2

34 ≥ ≥

Affichè i segnali di ingresso siano spettralmente separati deve valere f 2 B = 2 KHz e N 2.

0 ≥

La banda di y(t) vale B = N f + B. Per avere perfetta ricostruzione è necessario che f 2 B = 2 (N f + B).

y 0 c y 0

La massimizzazione di N deve quindi rispettare due condizioni:

( ≥

f 2 KHzx(t)

0 ≤

N f + B f /2

0 c

La seconda condizione è B 10000 1000 4000

f c − −

≤ = =

N 2 f f 2 f f f

0 0 0 0 0

Il massimo di N si otiene per il minimo valore di f , ovvero per f = 2000 Hz. Quindi N = 2.

max

0 0

Esercizio 2.7

Sia dato il segnale