Esercitazioni (esami svolti) di Meccanica delle macchina M - MATLab

MECCANICA DELLE MACCHINE M (18.07.2022)

Al momento della consegna, gli studenti dovranno inserire tutti i file di soluzione in un unico

archivio (.zip o .rar). L’archivio dovrà essere rinominato dagli studenti con il loro Cognome_Nome.

Nel dettaglio, l’archivio dovrà contenere i seguenti file:

- gli script di ogni esercizio;

- le figure dei grafici richiesti, salvate in formato .fig, con le intestazioni e le unità di misura;

- un file di testo (.doc/.docx/.txt) che deve contenere i risultati numerici richiesti, con le

rispettive unità di misura;

- tutti i file consegnati nell’archivio del tema d’esame (funzioni, dati, testo).

La consegna dell’archivio di soluzione avviene tramite caricamento sulla piattaforma EOL,

nell’apposita sezione all’interno del quiz. Sarà possibile caricare un solo file, ovvero l’archivio. Nel

caso in cui vengano fatte delle modifiche ai file di soluzione, è necessario caricare nuovamente

l’archivio, con lo stesso nome, sulla piattaforma. Il sistema chiederà esplicitamente se si intende

sovrascrivere il file.

2

è la variabile rappresentativa delle ultime cifre del numero di matricola del candidato.

00006914, = 13

Esempio: Se il numero di matricola del candidato è allora

Esercizio 1 (8 punti): Cinematica Veicolo = 2.3 m

Si consideri il moto piano di un veicolo, modellato come un biciclo di lunghezza e raggio

= 0.3 m.

della ruota XY è un sistema di riferimento inerziale, mentre è un sistema di

. =

riferimento solidale al veicolo, con origine in Il baricentro è lungo l’asse a distanza

1.2 m . .

da L’orientamento del veicolo è definito dall’angolo tra l’asse fisso e l’asse mobile

= 0,

Nell’istante iniziale il punto A coincide con l’origine del riferimento fisso e il veicolo si trova

0 ( ) ( ) )

= = ( = 0. =

in posizione orizzontale, ossia: Nell’intervallo di tempo che va da

0 0 0 0

()

0 = 1.5 s,

a l’angolo di sterzata [rad] e la velocità di rotazione delle ruote motrici [rad/s]

1

variano, rispettivamente, secondo le leggi:

3 2

( [ ]

() = + − 2 + 4 + 0.01 × ) ∊ , s

0 1

48 2

() [ ]

= −8 + 35 + 0.1 × ∊ , s

0 1

= 2 s:

Calcolare, in corrispondenza dell’istante ̇ ̈

- Il valore della velocità di rotazione e dell’accelerazione angolare ;

, ;

- il vettore velocità del baricentro espressi nel sistema di coordinate mobile

;

- l’accelerazione del punto espressa nel sistema di coordinate mobile

[ ]:

∊ ,

Infine, calcolare, nel periodo di tempo 0 1

- la traiettoria del punto (plot nel piano XY);

- l’andamento delle componenti del vettore , espresse nel sistema di coordinate mobile

(plot nel tempo delle componenti).

Suggerimento: per il primo grafico usare il comando axis equal.

TEMA 18/07/2022

%% Begin

clear all

close all

clc

%% Input

r = 0.3;

L = 2.3;

c = 1.2;

ab = 58;

n = 1001;

t = linspace(0,2,n);

[thd,thdd,vG,aG,XA,YA] = vehicleDynamic(ab,r,L,c,t)

thd_t = thd(find(t==2))

thdd_t = thdd(find(t==2))

vG_t = vG(:,find(t==2))

aG_t = aG(:,find(t==2))

t = linspace(0,1.5,n);

%% Grafics

figure()

hold on

grid on

plot(t,aG,'LineWidth',2)

xlabel('$t$ [s]','Interpreter','latex','FontSize',14)

ylabel('$aG$(t) [m/s]','Interpreter','latex','FontSize',14)

title('Trend of $aG$(t) from 0s to 1.5s','Interpreter',...

'latex','FontSize',14)

figure()

hold on

grid on

plot(XA,YA,'LineWidth',2)

xlabel('$X_{A}$ [m]','Interpreter','latex','FontSize',14)

ylabel('$Y_{A}$ [m]','Interpreter','latex','FontSize',14)

title('Trajectory of point A in the time, from 0s to 1.5s',...

'Interpreter','latex','FontSize',14)

FUNZIONE ESTERNA Rx

function rotx = Rx(ang)

rotx = [1 0 0; 0 cos(ang) -sin(ang) ; 0 sin(ang) cos(ang)];

end

FUNZIONE ESTERNA Ry

function roty = Ry(ang)

roty = [cos(ang) 0 sin(ang); 0 1 0; -sin(ang) 0 cos(ang)];

end

FUNZIONE ESTERNA Rz

function rotz = Rz(ang)

rotz = [cos(ang) -sin(ang) 0; sin(ang) cos(ang) 0; 0 0 1];

end

FUNZIONE ESTERNA vehicleDinamics

function [thd,thdd,vG,aG,XA,YA] = vehicleDynamic(ab,r,L,c,t)

n = 1001;

for i=1:n

delta(i) = (pi*(t(i)^2 + t(i)^2 -2*t(i) + 4 + ab*0.01))/48;

deltad(i) = pi*(3*t(i)^2 + 2*t(i) - 2)/48;

wm(i) = -8*t(i)^2 + 35 + ab*0.1;

wmd(i) = -16*t(i);

end

for i=1:n

h(i) = L/tan(delta(i));

thd(i) = wm(i)*r/h(i);

hd(i) = -L*deltad(i)/(sin(delta(i)^2));

thdd(i) = (wmd(i)*r - hd(i)*thd(i))/h(i);

end

for i=1:n

vA(:,i) = h(i)*thd(i)*[1;0;];

vG(:,i) = vA(:,i) + c*thd(i)*[0;1;];

aA(:,i) = (hd(i)*thd(i) + h(i)*thdd(i))*[1;0] + (h(i)*thd(i)^2)*[0;1];

aG(:,i) = aA(:,i) + c*(thdd(i) - c*thd(i)^2)*[0;1];

end

XA_0 = 0;

YA_0 = 0;

th = cumtrapz(t,thd);

for i=1:n

XAd(i) = wm(i)*r*cos(th(i));

YAd(i) = wm(i)*r*sin(th(i));

if i==1

XA(i) = XA_0;

YA(i) = YA_0;

else

dt = t(i) - t(i-1);

XA(i) = XA(i-1) + XAd(i-1)*dt;

YA(i) = YA(i-1) + YAd(i-1)*dt;

end

end

end

FUNZIONE ESTERNA skew

function sk = skew(v)

sk = zeros(3);

sk(2,1) = v(3);

sk(3,1) = -v(2);

sk(1,2) = -v(3);

sk(3,2) = v(1);

sk(1,3) = v(2);

sk(2,3) = -v(1);

end MECCANICA DELLE MACCHINE M (15.06.2023)

Al momento della consegna, gli studenti dovranno inserire tutti i file di soluzione in un unico

archivio (.zip o .rar). L’archivio dovrà essere rinominato dagli studenti con il loro Cognome_Nome.

Nel dettaglio, l’archivio dovrà contenere i seguenti file:

- gli script di ogni esercizio;

- le figure dei grafici richiesti, salvate in formato .fig, con le intestazioni e le unità di misura;

- un file di testo (.doc/.docx/.txt) che deve contenere i risultati numerici richiesti, con le

rispettive unità di misura;

- tutti i file consegnati nell’archivio del tema d’esame (funzioni, dati, testo).

La consegna dell’archivio di soluzione avviene tramite caricamento sulla piattaforma EOL,

nell’apposita sezione all’interno del quiz. Sarà possibile caricare un solo file, ovvero l’archivio. Nel

caso in cui vengano fatte delle modifiche ai file di soluzione, è necessario caricare nuovamente

l’archivio, con lo stesso nome, sulla piattaforma. Il sistema chiederà esplicitamente se si intende

sovrascrivere il file.

2

è la variabile rappresentativa delle ultime cifre del numero di matricola del candidato.

00006914, = 13

Esempio: Se il numero di matricola del candidato è allora

Esercizio 1 (8 punti): Dinamica Inversa Quadrirotore

Si consideri il quadrirotore in figura. È definito un sistema di riferimento solidale al veicolo,

, , .

centrato nel centro di massa e caratterizzato dalla terna di versori La posizione di è

.

definita dal vettore nel sistema di riferimento fisso L’orientamento del quadrirotore è definito

, , . , ,

secondo la convenzione degli angoli di Eulero Le rotazioni attorno agli assi mobili sono

, , .

indicate rispettivamente con È fornita la cinematica del quadrirotore in un dominio

[0,

∊ 10] s,

temporale attraverso la funzione: {} {} {̇ } {̈ }

: → , , , ,

{}

,

dove è la matrice che descrive l’orientamento di rispetto ad è la velocità angolare

{}

,

del veicolo espresso nel sistema di coordinate è l’accelerazione angolare espressa nel

{̇ } {̈ }

,

sistema di coordinate e sono rispettivamente la velocità e l’accelerazione del centro

, .

di massa espresse nel sistema di coordinate

=

Il quadrirotore ha massa totale ed è soggetto alla forza peso con accelerazione di gravità

9.81 m/s.

I momenti di inerzia principali valgono , e , mentre i prodotti di inerzia sono

( = = = 0). .

nulli I bracci del rotore sono uguali e hanno una lunghezza pari a Le eliche,

tutte uguali, hanno coefficiente di spinta e coefficiente di coppia . Per i parametri inerziali e

_:

geometrici occorre utilizzare la funzione

_: → , , , , , ,

2

kg kgm

Le lunghezze sono espresse in m, le masse in , le inerzie in .

= 8.5 s,

Calcolare, nell’istante le seguenti grandezze:

{ } ,

- la coppia d’inerzia , espressa nel sistema di coordinate mobile calcolata rispetto a

,

, punto definito dall’ intersezione del braccio del rotore con l’asse della seconda elica (v.

figura);

- l’energia cinetica complessiva del quadrirotore;

{}

- il versore lungo cui è diretta la forza di spinta , espresso nel sistema di coordinate

ℎ

; { } ;

- il momento di attuazione , espresso nel sistema di coordinate mobile

[ ]

∊ , = 0 s = 7 s

Inoltre, supponendo di analizzare il periodo di tempo , con e , calcolare:

0 1 0 1

̇

( = 1, 2, 3, 4)

- l’andamento delle velocità di rotazione delle eliche (plot nel tempo).

TEMA 15/06/2023

%% Begin

clear all

close all

clc

%% Input

n = 1001;

t = linspace(0,10,n);

[mQ,Tk,zeta,k] = tema15giugno(t);

k_t = k(:,find(t==8.5));

k_a_t = k_t

mQ_t = mQ(:,find(t==8.5))

Tk_t = Tk(find(t==8.5))

t = linspace(4,8,n);

[mQ,Tk,zeta,k] = tema15giugno(t);

%% Grafics

figure()

hold on

grid on

plot(t,zeta*30/pi,'LineWidth',2)

xlabe