Esercitazioni Costruzioni navali 2

Messoriano Giulia; matricola 5198205

Esercitazione 1

Modulo di resistenza elastico

Lo scopo di questa esercitazione è quello di elaborare un foglio di calcolo per le caratteristiche geometriche della sezione resistente di rinforzi navali, quali:

• Ferri a T
• Ferri a L
• Ferri piatti
• Ferri a bulbo

Dati

• Base e altezza del fasciame
• Base e altezza dell’anima
• Base e altezza della piattabanda
• Base e altezza del triangolo che approssimo al bulbo

Per ogni sezione vengono calcolati:

• Area trasversale
• Coordinate del baricentro
• Momento di inerzia baricentrico
• Modulo di resistenza per le fibre più lontane dall’asse neutro

Devono inoltre essere verificate tre condizioni:

• Lo spessore della piattabanda deve essere maggiore dello spessore dell’anima
• Lo spessore del fasciame deve essere maggiore dello spessore dell’anima
• La larghezza della piattabanda deve essere compresa tra 1/3 e 2/3 dell’altezza dell’anima

Procedimento

Una volta che si assegnano le grandezze, in modo da rispettare anche i criteri dimensionali elencati precedentemente, si va a impostare una tabella con le caratteristiche da determinare.

Si riporta la prima parte del foglio Excel sul ferro a T:

L'area viene calcolata come: hiAi bi=

Successivamente si procede con il calcolo della coordinata del baricentro di ogni sezione, prendendo come assi cartesiani di riferimento l'asse y passante per metà dello spessore della trave e asse x coincidente con la base del fasciame.

Una volta determinata la coordinata del baricentro di ogni sezione si procede con il determinare i momenti statici di ogni figura rispetto agli stessi assi: AiSxi Yai= .AiSy XGi=i .

Per ottenere le coordinate del baricentro dell'intera sezione occorrerà fare il rapporto tra Sx e Sy totali e l'area totale: S SxXa YG= = ATOT- Tor

In seguito si calcolano i momenti di inerzia propria della figura rispetto all'asse baricentrico: formula utilizzata nel caso di sezione rettangolare.

Una volta determinati i valori per la piattabanda, anima e fasciame si utilizza il teorema di Huygens per determinare le inerzie rispetto all'asse neutro.

Distanza tra baricentro di ciascun elemento e quello totale della figura.

Una volta sommate le inerzie di ogni sezione si possono ricavare i moduli di resistenza con le seguenti formule: dei valori trovati sarà di interesse quello più piccolo tra i due.

Come detto in precedenza, è bene notare che per i ferri a T si cerca di mantenere dei rapporti dimensionali sensati, in particolare per l'acciaio:

• T spessore dell'anima deve essere minore o uguale dello spessore del fasciame. Questo perché bisogna saldare tante anime sullo stesso fasciame e se si dovesse scaldare l'anima tante volte, che è più spessa del fasciame, il fasciame subirebbe troppi shock termici.
• La larghezza della piattabanda si cerca di mantenerla tra 1/3 e 2/3 dell'altezza dell'anima.
• Lo spessore della piattabanda deve essere maggiore o uguale dello spessore dell’anima.

È importante dunque controllare che queste dimensioni siano state rispettate. Per questa verifica è stata creata una tabella con la funzione SE di Excel in modo che, se la condizione è stata rispettata allora dalla cella risulterà esserci "ok", altrimenti "no".

Inoltre, per verificare che il risultato dei calcoli svolti siano corretti, è sufficiente inserire gli stessi valori di larghezza e spessore per il fasciame e la piattabanda e controllare che Wp e Wf coincidano.

Analogamente per la trave a T si eseguono altri due fogli di calcolo per la trave a L e piatta. I fogli di calcolo sono uguali ma è bene notare che nel caso di ferro a L viene calcolato anche x e nel ferro piatto non vengono riportati i dati della piattabanda superiore in quanto assente.

Leggermente differente è il caso del ferro a bulbo.

Per i ferri a bulbo vengono forniti i bulbari che forniscono indicazioni sul bulbo come ad esempio dimensioni, materiale, tolleranze degli spessori. Viene riportata a sinistra l'immagine con tutte le grandezze che caratterizzano il bulbo. Queste grandezze sono riportate sul catalogo fornito durante la lezione.

In questo caso vengono usate come formula dell'area:

Per i rettangoli.

Per i triangoli.

Per quanto riguarda il baricentro del triangolo bisogna ricordare che il baricentro sta a 1/3 del cateto. Anche l'inerzia del triangolo è differente rispetto a prima:

Per il triangolo.

Con il teorema di Huygens diventa:

Verifica del risultato

Per capire quanto l'approssimazione fatta ha influenza sui risultati tabellari, si vanno a prendere i valori del primo bulbo dal catalogo fornito e si leggono i risultati in termini di momento d'inerzia e modulo di resistenza. Si preferisce un'approssimazione per difetto perché con una approssimazione per eccesso sovrastimerei il modulo di resistenza mentre con una approssimazione per difetto l'errore si verifica dalla parte della sicurezza, la resistenza calcolata dal foglio Excel sarà lievemente minore di quella fornita.

Si azzerano i valori del fasciame in modo da fare il confronto solo con i valori del bulbario.

C'è un'approssimazione ma i risultati si possono ritenere accettabili.

Messoriano Giulia; matricola 5198205

Esercitazione 2

Consegna

Elaborare un foglio per il calcolo delle distribuzioni delle tensioni σ, τ e σ alla Von Mises per un rinforzo EQ tipico a doppia T con geometria variabile. Discutere i risultati con particolare riferimento alla relativa importanza delle tensioni σ, τ sul valore finale della σEQ evidenziando per quali forme geometriche della sezione è lecito ignorare il contributo della tensione τ e quindi delle sollecitazioni di taglio. Discutere anche l’influenza della campata.

Scopo

Vedere come variano le tensioni interne alla trave al variare della forma geometrica della sezione della trave e della campata. Si vuole diagrammare:

• Tensioni assiali σ (dovute al momento flettente)
• Tensioni tangenziali τ (dovute al taglio) 8 348
• Verifica di resistenza secondo il criterio di Von Mises Pea +=.

Il seguente calcolo vale nel caso di rinforzi doppiamente incastrati e con carico costante lungo la campata.

Dati di partenza

• Geometria della sezione (h e b della piattabanda; h e b dell'anima; h e b del fasciame)
• Altezza battente idrostatico [m]
• Campata della trave L [m]
• Carico [KN/m]

Procedimento

Si assegnano dei valori per il battente, carico e campata. Considerando la trave doppiamente incastrata si calcolano il momento flettente e il taglio con le seguenti formule: De 90Mr NN T. MM == 2

La distribuzione delle tensioni, dove il momento é massimo, si può ottenere attraverso l’equazione governante del problema di flessione uniforme, che prende il nome di equazione di Navier. Perciò, nota la sezione della trave, è possibile ricavare il momento di inerzia, e quindi calcolare la tensione: My No • T: sforzo di taglio= mm² • S: momento statico Si(y)T

Per la tensione τ si applica la formula di Jourawsky: .T • J: momento di inerzia= 5 Di(y). • b: larghezza della sezione.

Essendo, entrambe le formule appena scritte, dipendenti dalla coordinata y, si discretizza la sezione in intervalli. y /y Bisogna fissare il numero di intervalli con cui discretizzare le parti della sezione: = · per il fasciame si sceglie di discretizzare in 5 intervalli. !altezza tot.valore precedente +

Ad esempio, per trovare il secondo valore: X 5⑳ Per il fasciame si procede fino a quando non ho raggiunto il valore di spessore.

Analogamente si procede per l'anima e la piattabanda, con rispettivamente 20 e 5 intervalli. X.

È bene notare che tutto quello appena definito è riferito al sistema di riferimento x', y'. Da adesso in poi si procede facendo riferimento agli assi centrati, dove è presente l'asse neutro. Per fare ciò si fa una "traslazione", ovvero si prendono le y appena trovate e si sottrae il valore dell'asse neutro.

Per graficare l'andamento della tensione σ, si selezione la colonna della y riferita all'asse neutro e quella della σ e si inserisce il grafico a dispersione con linee rette.

Per il calcolo della tensione τ serve prima calcolare b. Una volta riportato in forma tabellare, si trova il momento statico come fy b(y)sy dy= .

Una volta trovati i dati necessari si riesce a calcolare la distribuzione delle tensioni τ e diagrammare l'andamento. Con Excel si calcola anche il valore di σ equivalente. Di seguito vengono riportati i grafici trovati.

Discussione dei risultati

Analogamente all'esercitazione 1, devono essere verificate le condizioni sulla geometria:

• Lo spessore della piattabanda è maggiore dello spessore dell’anima
• Lo spessore del fasciame è maggiore dello spessore dell’anima
• La larghezza della piattabanda compresa tra 1/3 e 2/3 dell’altezza dell’anima

Confrontando i diagrammi ricavati si riesce a capire se sul valore di σ equivalente ha più influenza la σ del momento flettente oppure τ. Ciò lo si può notare guardando il valore massimo. In questo caso la σ equivalente è influenzata quasi ed esclusivamente dalla σ dovuta al momento flettente.

Cambiando il rapporto tra piattabanda e anima, e in particolare aumentando di molto la piattabanda, la τ cresce mentre la σ rimane quasi invariata. Vengono riportati i valori massimi delle σ calcolate in forma tabellare.

Come si può notare, in questo caso i valori della σ equivalente e quella dovuta al momento flettente coincidono e dunque è possibile trascurare τ.

Anche la campata gioca un ruolo fondamentale, infatti: 992- e bab YmaxJY. 2 . con l/6 il rapporto tra M (momento) e T (taglio). . N= .- .(995 SA12. S34- .63 3- . . N. .(Si calcola il rapporto per vedere quale grandezza è più influente dell'altra)

Il rapporto dunque, per la trave doppiamente incastrata, dipende da:

• Lunghezza: più si allunga, più è importante σ
• : Ovvero quel termine che indica come varia il rapporto (Ymax SanDAN). σ/τ per le dimensioni geometriche della sezione trasversale

Ponendo il rapporto =1, ovvero quando σ e τ hanno la stessa influenza, è possibile calcolare la campata minima al di sotto della quale non si può più trascurare lo sforzo di taglio. SAN63Climite .I PANYmax .

Si può concludere affermando che se vengono rispettate le condizioni sulla geometria e sulla campata, le tensioni si possono trascurare, dimensionando la trave considerando solo il momento flettente M.

Messoriano Giulia; matricola 5198205

Esercitazione 3

Consegna

Elaborare un foglio per il calcolo delle caratteristiche di sollecitazione (taglio e momento flettente) di una trave doppiamente incastrata di campata L e caricata con un carico per unità di lunghezza con distribuzione trapezoidale generica identificata dai valori q1 in x=0 e q2 in x=L. Confrontare i risultati in termini di Momento flettente massimo e freccia massima per:

• Carico trapezoidale tra q1 e q2, carico costante pari al valore massimo tra q1 e q2, carico costante pari al valore medio tra q1 e q2, carico costante pari al valore di q nel baricentro della distribuzione trapezoidale.
• Carico triangolare tra q1 e q2, carico costante pari al valore massimo tra q1 e q2, carico costante pari al valore medio tra q1 e q2, carico costante pari al valore di q nel baricentro della distribuzione triangolare.

Scopo

Lo scopo è di comprendere, in termini di momento flettente massimo e freccia massima, come si approssimano i carichi trapezoidali e triangolari con diversi carichi costanti.

Dati di partenza

• Campata della trave L
• Carichi q1 e q2 agenti sugli estremi della trave
• Modulo di Young E (proprietà intrinseca del materiale)
• Momento di inerzia J rispetto all'asse baricentrico della sezione della trave
• Numero di intervalli in cui si vuole discretizzare la trave

Procedimento

I valori che dovrò andarmi a calcolare sono rispettivamente: ! ...miI

• T(x): taglio massimo
• M(x): momento flettente massimo
• k(x): curvatura flessionale
• (x): rotazione E
• (x): spostamento massimo

Questi dati possono essere calcolati sia analiticamente, con le formule della scienza delle costruzioni, oppure numericamente, con il metodo dei trapezi, anche noto come metodo di Bezout.

Per ottenere i dati analitici bisogna risolvere l’equazione di una trave doppiamente incastrata e con carico trapezoidale 02 Si tratta di una iperstatica che va risolta con 3 sistemi P1 L eff- dsistema 0 sistema 2sistema 1 Tz 0Tr 1 == M2M1 1X ==

Il sistema 0 lo si risolve applicando il teorema dei lavori virtuali.

Per prima cosa si trovano le reazioni vincolari:

Il taglio sarà uguale all'area totale del trapezio. Per quanto riguarda la reazione vincolare dovuta al momento flettente bisogna calcolare (01 02+· la forza equivalente e porla nel baricentro del trapezio. L2B33

Il baricentro del trapezio è pari a yz = . D29 92L + applicata al caso in esame risulta essere ,= .3 9 92+

Cosi facendo si conosce il braccio della forza equivalente applicata al baricentro e il momento ricavato è pari a & Pi29 9292 + (29L + ., 92)c +. = ,3 29 92+

In definitiva: (91 .921+· (29 9+,2

Si procede ora a risolvere il problema con l’equazione della linea elastica.

Risulta necessario conoscere l'equazione del carico, non essendo costante. 9201 An-q(x) xMX q+ == L X2&(91 92-

Per ricavare l'equazione del Taglio è necessario integrare il carico: T(X) 9 Ce+X= - ,2L, dunque

Per determinare la costante c1 si considera T(0) C10 0= =yqX391-92

Il momento si ricava integrando nuovamente: con M(X) c2M(0) 0(20+= > ==-LCome verifica si sostituisce con L per vedere se si riesce a ricavare il momento trovato prima.

Che risulta essere uguale ma con segno diverso in quanto↳ 29 291-92 per la convenzione della Scienza delle Costruzioni un 92-309, -M(L) 1= I momento in senso orario ha segno negativo L G Mik

Adesso si continua con la risoluzione dell'equazione di Muller Berslau: FiMi Mio+= i( FaMFiMMio ++ 0=, 2,F F2M22M20 Ma+ + 0i , = 245 x"/ x5x" l 4012-02 119902 99 x +0B ,- ,dX,dxMio == = -. - --. Ej30L &EJ 120OMM' 23 22 EsOXMm M Mai &= ,= = = =·2Ej3E 12 aSi