Esercitazioni Costruzioni Navali 5

Esercitazioni di costruzioni navali 5

(Metodi probabilistici per l’ingegneria navale)

Anno accademico 2021/22

Indice

1 Esercitazione n°1 4

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Domanda a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Domanda b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3 Domanda c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.4 Domanda d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Esercitazione n°2 8

2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Esercitazione n°3 10

3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1 Domanda a) Distribuzione uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.2 Domanda b) Distribuzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.3 Domanda c) Distribuzione Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.4 Domanda d) Distribuzione di Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Esercitazione n°4 15

4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Esercitazione n°5 21

5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2.1 Domanda a) Ricavare il parametro R della distribuzione di Rayleigh: . . . . . . 22

5.2.2 Domanda b) Ricavare la probabilità di non avere acqua in coperta su 100 onde: 23

5.2.3 Domanda c) Ricavare la distribuzione di densità di probabilità per l’altezza hwd’acqua in coperta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2.4 Domanda d) Ricavare la distribuzione di densità di probabilità associata agli2ingressi d’acqua dalla coperta in un’apertura orizzontale di area 1[m ]. . . . . . 25

5.2.5 Domanda e) Ricavare la distribuzione di densità di probabilità associata all’in-gresso complessivo d’acqua per un numero di onde in coperta pari a 100 . . . . 26

6 Esercitazione n°6 28

6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.2 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.2.1 Domanda a) Verificare che la funzione possieda le caratteristiche proprie dellefunzioni di distribuzione congiunte di densità di probabilità . . . . . . . . . . . . 29

6.2.2 Domanda b) Calcolare le funzioni di distribuzione marginale di densità di pro-babilità f (x) e f (y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29x y 1Indice

6.2.3 Domanda c) Valutare se le variabili X e Y sono indipendenti . . . . . . . . . . 29

6.2.4 Domanda d) Calcolare i momenti di ordine 1 della distribuzione congiunta . . . 30

6.2.5 Domanda e) Calcolare la matrice di covarianza delle variabili X,Y . . . . . . . 30

6.2.6 Domanda e) Calcolare la probabilità P [X > 2Y ] . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7 Esercitazione n°7 32

7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7.2 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.2.1 Domanda a) Verificare che la funzione possieda le caratteristiche proprie dellefunzioni di distribuzione congiunte di densità di probabilità . . . . . . . . . . . . 33

7.2.2 Domanda b) Calcolare le funzioni di distribuzione marginale di densità di pro-babilità f (x) e f (y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33x y7.2.3 Domanda c) Valutare se le variabili X e Y sono indipendenti . . . . . . . . . . 33

7.2.4 Domanda d) Calcolare i momenti di ordine 1 della distribuzione congiunta . . . 34

7.2.5 Domanda e) Calcolare la matrice di covarianza delle variabili X,Y . . . . . . . 34

7.2.6 Domanda e) Calcolare la probabilità P [X < 1, Y < 1] . . . . . . . . . . . . . . 34

8 Esercitazione n°8 35

8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

8.2 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

8.2.1 Domanda a) Verificare che la funzione possieda le caratteristiche proprie dellefunzioni di distribuzione congiunte di densità di probabilità . . . . . . . . . . . . 35

8.2.2 Domanda b) Calcolare le funzioni di distribuzione marginale di densità di pro-babilità f (x) e f (y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36x y8.2.3 Domanda c) Valutare se le variabili X e Y sono indipendenti . . . . . . . . . . 36

8.2.4 Domanda d) Calcolare i momenti di ordine 1 della distribuzione congiunta . . . 36

8.2.5 Domanda e) Calcolare la matrice di covarianza delle variabili X,Y . . . . . . . 36a a8.2.6 Domanda e) Calcolare la probabilità P [X < , Y < ] . . . . . . . . . . . . . . 372 29 Esercitazione n°9 38

9.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9.2 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9.2.1 Domanda a) Verificare che le funzioni possiedano le caratteristiche proprie dellefunzioni di distribuzione di densità di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9.2.2 Domanda b) Calcolare la distribuzione congiunta di densità di probabilità . . . 39

9.2.3 Domanda c) Calcolare i momenti di ordine 1 della distribuzione congiunta . . . 39

9.2.4 Domanda d) Calcolare la matrice di covarianza delle variabili X,Y . . . . . . . . 39

9.2.5 Domanda e) Calcolare la distribuzione di densità di probabilità f (z) con Z=X+Y. 40Z10 Esercitazione n°10 42

10.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

10.2 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

10.2.1 Numero di persone =1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

10.2.2 Numero di persone =2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

10.2.3 Numero di persone =3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

10.2.4 Numero di persone =4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

11 Esercitazione n°11 52

11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

11.2 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

11.2.1 Hp. n°1: livelli indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

11.2.2 Hp. n°2: livelli dipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

11.2.3 Hp. n°3: Valvola di comunicazione tra i due serbatoi . . . . . . . . . . . . . . . 582Indice12 Esercitazione n°12 59

12.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

12.2 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

12.2.1 1) Identificare la combinazione di parametri (altezza dell’onda significativa, pe-riodo medio di zero crossing dell’onda e angolo di incontro relativo) che forniscele risposte più elevate (considerare le combinazioni con probabilità di occorrenzamaggiore di zero, es. trascurare le celle ”vuote” del diagramma di dispersione); 61

12.2.2 2) Sviluppare per la condizione del mare identificata in (1) una previsione abreve termine della distribuzione di probabilità del momento flettente verticaleindotto dall’onda e valutare qual è la probabilità che una singola onda producauna risposta superiore in termine di valore momento flettente verticale d’ondasuperiore al valore calcolabile tramite la formula IACS UR S11 per il caso diinsellamento; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

12.2.3 3) Supponendo che la nave è esposta a quella condizione per 1 ora: qual’è laprobabilità di superamento del valore calcolabile con la formula IACS UR S11?; 63

12.2.4 4) Qual’è la probabilità di superare il valore ricavabile con la formula IACS URS11 se la nave incontra lo stesso stato di mare, ma con gli altri angoli di incontro?; 65

12.2.5 5) Qual’è il risultato se si ipotizza stessa probabilità di angoli di incontro durantelo stesso periodo (1 ora)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

12.2.6 6) Qual’è il risultato se si considera che la stessa nave trascorre 5 minuti nellostesso stato di mare con tutti gli angoli di incontro (periodo di esposizione totalepari a 1 ora)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

Capitolo 1

Esercitazione n°1

1.1 Introduzione

La travatura isostatica rappresentata in figura 1.1 è composta da 3 travi statisticamente uguali.

Figura 1.1: Travatura isostatica

Ciascuna ha probabilità di collasso pari a P [T ] = 0.01.i

Si discuta la probabilità di collasso per l’intera struttura facendo le seguenti ipotesi sugli eventi Ticorrispondenti al collasso delle singole travi:

• A) Eventi mutuamente esclusivi
• B) Eventi indipendenti
• C) |TP [T ] = 1 (i, j = 1, 2, 3) (1.1)i j

Domanda aggiuntiva d): Si discutano anche i casi in cui gli eventi hanno correlazione positivao negativa, assumendo a piacere valori per le probabilità condizionate richieste.

1.2 Svolgimento

Si indica con T l’evento collasso dell’intera struttura ovvero l’unione dei collassi delle singole traviT = T U T U T .1 2 3

Si indica invece con S la sopravvivenza dell’intera struttura data dall’unione delle sopravvivenze dellesingole travi S = S U S U S , corrispondente al coniugato dell’evento collasso della intera travatura1 2 3cS = T . 41.2. Svolgimento

1.2.1 Domanda a)

I collassi di ciascuna trave T ,T e T sono tre eventi mutuamente esclusivi ovvero:1 2 3 ∩T T = 0 per i, j = 1, 2, 3 (1.2)i j

Sotto l’ipotesi di eventi mutuamente esclusivi e sistema isostatico, si determina la probabilità delcollasso dell’intera struttura: 3X P [T ] = T + T + T = 0, 03 (1.3)i 1 2 3i=1

Ragionando in termini di sopravvivenza si svolge il ragionamento inverso:3 3X X− −P [S ] = 1 P [T ] = 1 P [T ] = 0, 97 (1.4)i ii=1 i=1cDato che: S = T .

1.2.2 Domanda b)

Il collasso di una trave è indipendente da quello delle altre quindi:|T |TP [T ] = P [T ] e di conseguenza P [T ] = P [T ] (1.5)i j i j i j

L’indipendenza degli eventi permette di calcolare l’intersezione di due eventi, in questo casocollasso, con la formula: ∩ ∗P [T T ] = P [T ] P [T ] (1.6)i j i j

L’evento collasso della travatura sotto le ipotesi di indipendenza può essere calcolato con dueprocedimenti:

• 1. Come sommatoria dell’unione dei collassi delle travature:31=1P [∪ T ] = P [T ]+P [T ]+P [T ]−P [T ]P [T ]−P [T ]P [T ]−P [T ]P [T ]+P [T ]P [T ]P [T ] (1.7)i 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3
• 2. Mediante la formula di De Morgan, sfruttando il coniugato del collasso ovvero la sopravvivenzadella trave: 31=1 31=1 c c 31=1 c c∪C = T = [∩ T ] = [∩ S ] = S (1.8)i ii

E quindi la formula con cui ricavare la probabilità sarà:31=1 31=1 c c 31=1 c 3− − −P [C] = P [∪ T ] = [∩ T ] = 1 [∩ S ] = 1 S = 1 0, 99 = 0, 0297 (1.9)i ii

1.2.3 Domanda c)

|TCon l’ipotesi P [T ] = 1 con i,j=1,2,3 si ottiene che P [T ] = 0, 01 (e di conseguenza P[S]=0.99),i j iin quanto per l’arbitrarietà degli indici otteniamo che i tre insiemi collasso coincidono e quindi laprobabilità di collasso dell’intera struttura coincide con la probabilità di collasso di una singola trave.51.2. Svolgimento

1.2.4 Domanda d)

Per correlazione tra eventi, nel caso di specie collasso e sopravvivenza di singole travi o del sistema ditravi che identifica la struttura nella sua completezza, intendiamo una evento che accadendo influenzail verificarsi di un altro con due modalità:

• Correlazione positiva: accaduto il primo evento il secondo aumenta le proprie probabilità diavvenire;
• Correlazione negativa: accaduto il primo evento, la probabilità che avvenga anche il secondodiminuisce.

A titolo di esempio, al fine di adempiere alla domanda postaci in precedenza, si definiscono dueeventi tramite l’ipotesi di correlazione:

• Correlazione positiva: |TP [T ] = 0, 05 (1.10)i jovvero se la trave T collassa la probabilità che collassi anche la trave T è pari a 0,05. Da notarej iche per le ipotesi iniziali T = 0, 01 per i=1,2,3, quindi 0, 05 > 0, 01.i
• Correlazione negativa: |TP [T ] = 0, 005 (1.11)i jovvero se la trave T collassa la probabilità che collassi anche la trave T è pari a 0,005. Daj inotare che per le ipotesi iniziali T = 0, 01 per i=1,2,3, quindi 0, 005 < 0, 01.i

In generale sappiamo che l’intersezione di collassi simultanei è influenzata da una condizionata cheavrà valore diverso a secondo del tipo di correlazione che stiamo analizzando:−4 ∩ |T ∗ ∗ ∗P [T T ] = P [T ] P [T ] = 0, 05 0, 01 = 5 10 correlazione positivai j i j j (1.12)−5∩ |T ∗ ∗ ∗P [T T ] = P [T ] P [T ] = 0, 005 0, 01 = 5 10 correlazione negativai j i j j

Al fine di calcolare la probabilità di collasso useremo la seguente formula:31=1 − ∩ − ∩ − ∩ ∩ ∩P [∪ T ] = P [T ] + P [T ] + P [T ] P [T T ] P [T T ] P [T T ] + P [T T T ] (1.13)i 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3

Analizziamo il I° caso

Dove vediamo che: −4 −4∩ |T ∗ ∗ ∗ ∩ ∗P [T T ] = P [T ] P [T ] = 5 10 > 1 10 = P [T T ] = P [T ] P [T ] (1.14)i j i j j i j i j

L’ultimo termine della formula avrà un valore variabile, in quanto si può considerare variabilel’ultimo termine secondo il seguente intervallo:31=1 |T ∗ {P |T |T[∩ T ] = P [T ]P [T ] [T ] = 0, 05; P [T ] = 1} = (1.15)i i j j i j i j

In termini numerici: ∩ ∩ |T ∗ |T ∩[T T T ] = P [T ]P [T ] P [T T ] = (1.16)1 2 3 2 1 1 3 1 2|T ∗ {P |T ∩ |T ∩= P [T ]P [T ] [T T ] = 0, 05; P [T T ] = 1} = (1.17)2 1 1 3 1 2 3 1 2−4 −4 −5 −4{5 ∗ ∗ ∗ ∗ {2, ∗ ∗ }= 10 0, 05; 5 10 1} = 5 10 ; 5 10 (1.18)61.2. Svolgimento

La probabilità di collasso, ricavata dalla formula precedente, in caso di correlazione positiva saràcompresa nell’intervallo: −4 −5 −4 −4{3 ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ } {0,P [C] = 0, 01 3 5 10 + 2, 5 10 ; 3 0, 01 3 5 10 + 5 10 = 0285; 0, 029} (1.19)

Analizziamo il II° caso

Dove vediamo che: −5 −4∩ |T ∗ ∗ ∗ ∩ ∗P [T T ] = P [T ] P [T ] = 5 10 < 1 10 = P [T T ] = P [T ] P [T ] (1.20)i j i j j i j i j

L’ultimo termine della formula avrà un valore variabile, in quanto si può considerare variabilel’ultimo termine secondo il seguente intervallo:31=1 |T ∗ {P |T |T[∩ T ] = P [T ]P [T ] [T ] = 0; P [T ] = 0, 005} (1.21)i i j j i j i j

In termini numerici: ∩ ∩ |T ∗ |T ∩[T T T ] = P [T ]P [T ] P [T T ] = (1.22)1 2 3 2 1 1 3 1 2|T ∗ {P |T ∩ |T ∩= P [T ]P [T ] [T T ] = 0; P [T T ] = 0, 005} = (1.23)2 1 1 3 1 2 3 1 2−5 −5 −7{5 ∗ ∗ ∗ ∗ {0; ∗ }= 10 0; 5 10 0, 005} = 2, 5 10 (1.24)

Dal risultato di questo termine si intuisce che l’ampiezza dell’intervallo della soluzione sarà dell’ordi-−7ne di grandezza di 10 , talmente ristretto da permetterci di assumere un singolo valore come risultatodel calcolo di probabilità di collasso. La probabilità di collasso, ricavata dalla formula precedente, incaso di correlazione negativa sarà:−5 −5 −7{3 ∗ − ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ } {0,P [C] = 0, 01 3 5 10 + 0; 3 0, 01 3 5 10 + 2, 5 10 = 02985} (1.25)7

Capitolo 2

Esercitazione n°2

2.1 Introduzione

La travatura rappresentata in figura 2.1 è composta da 9 travi statisticamente uguali.

Figura 2.1: Travatura

Si richiama l’attenzione sul fatto che due coppie di nodi sono collegate da due travi.

Ciascuna trave ha probabilità di collasso pari a P [T ] = 0.01.i

Si discuta la probabilità di collasso per l’intera struttura facendo l’ipotesi di indipendenza tra glieventi T corrispondenti al collasso delle singole travi.i

2.2 Svolgimento

Si procede numerando le singole travi in modo da avere un riferimento grafico nella successiva fase dicalcolo.

Figura 2.2: Travatura

Con la numerazione riportata in figura 2.2 si applica la formula di De Morgan.

N.B. In questo caso bisogna considerare la ridondanza che le coppie di travi (6-7 e 8-9) forniscono.51=1 c c c c c 5 c c c c∩ ∪ ∩ ∪ ∗ ∪ ∩ ∪P [S] = P [(∩ T ) (T T ) (T T )] = 0, 99 P [(T T ) (T T )] (2.1)i 6 7 8 9 6 7 8 9

Calcolo ora i due contributi di ridondanza: 82.2. Svolgimento