Esercitazione di Statistica

X̄−µ

• La distribuzione di è normale standard.

2

σ /n

√

X̄−µ

• La distribuzione di dove

2

s /n ∑

n

1 − 2

2 (x x̄)

s = i

−

n 1 i=1

−

è t di Student con gradi di libertà. I suoi quantili sono tabulati sul libro. Quando la t

n 1 n > 100

di Student si può approssimare con una normale standard.

• Un intervallo di confidenza per al livello (tipicamente o è un intervallo di stima

µ c c = 0.95 c = 0.99)

con estremi e tali nell’universo dei campioni una proporzione di campioni produce intervalli che

A B c

contengono µ: P (A < µ < B) = c.

−

• Un intervallo di confidenza di livello per la media di una distribuzione normale con varianza nota

1 α

è √

± ·

X̄ z σ/ n

−

dove è tale che ossia e è la normale standard.

z P (Z < z) = 1 α/2 P (Z > z) = α/2 Z

−

• Un intervallo di confidenza di livello per la media di una distribuzione normale è

1 α √

± · 2

X̄ t s /n

∑ − −

1

2 2

dove . Il valore è un quantile della t di Student, cioè è tale che

s = (x x̄) t P (T < t) = 1 α/2

i

n −

ossia in cui è la t di Student con gradi di libertà.

P (T > t) = α/2 T n 1

−

• Un intervallo di confidenza di livello approssimato per la media di una distribuzione normale con

1 α

un campione di dimensione elevata è √

± · 2

X̄ z s /n

−

dove è tale che ossia e è normale standard.

z P (Z < z) = 1 α/2 P (Z > z) = α/2 Z

−

• Un intervallo di confidenza di livello approssimato per la proporzione di una popolazione

1 α

−

dicotomica in cui è

np̂(1 p̂) > 9 √ −

± · p̂(1 p̂)/n

p̂ z

−

dove è tale che ossia e è normale standard.

z P (Z < z) = 1 α/2 P (Z > z) = α/2 Z

34

8.1

Un’azienda produce un modello di auto la cui percorrenza (in km con 1 litro di benzina) ha distribuzione

X

normale, media km/l e deviazione standard km/l. Supponiamo di avere un campione casuale di 4 auto

25 2

prodotte in serie.

• La percorrenza media campionaria che distribuzione ha?

• Qual è la probabilità che la percorrenza media sia superiore a km/l?

26

• Ricalcolare la probabilità precedente con una dimensione campionaria di auto.

25

Soluzione

∼ Campione = indipendenti e identicamente distribuiti come

X N (25, σ = 2). (X , X , X , X ) X.

1 2 3 4 √

• La percorrenza media è ed ha distribuzione normale

X̄ = (X1 + X2 + X3 + X4)/4 N (25, σ = 2/ 4 =

X̄

1). − − −

• P ( X̄ > 26) = P (Z > (26 25)/1) = P (Z > 1) = 1 P (Z < 1) = 1 0.8413 = 0.1587.

− − −

• P ( X̄ > 26) = P (Z > (26 25)/(2/5)) = P (Z > 2.5) = 1 P (Z < 2.5) = 1 0.9938 = 0.0062.

8.2

Una popolazione di studenti è composta dal 40% di femmine e dal 60 % di maschi. Se si estrae un campione

casuale con ripetizione di 25 studenti qual è la distribuzione di probabilità della proporzione di femmine nel

campione? Qual è la varianza della proporzione di femmine nel campione?

Soluzione

∼ con Perciò

X Bernoulli p = 0.4, q = 0.6. var(X) = pq = 0.24.

Campione di elementi

n = 25 (X , . . . , X ).

1 25

$P = $ Proporzione di femmine = #femmine /25 = (X + ... + X )/25.

1 25

∗ è distribuita come una Binomiale(25, Sappiamo allora che

P 25 p = 0.4).

var(P ) = var(X)/n = 0.24/25 = 0.0096.

8.3

Sia la distribuzione dell’età di una popolazione con anni e anni. Se seleziono un

X E(X) = 50 σ(X) = 10

campione di persone e calcolo la media:

n = 4

• Si conosce la distribuzione campionaria dell’età media?

• Si conosce il valore atteso della distribuzione campionaria?

• Si conosce la varianza della distribuzione campionaria?

Giustificare.

Soluzione

∼

= età incognita ?(µ

X = 50, σ = 10).

Campione: indipendenti e identicamente distribuiti come

(X , X , X , X ) X.

1 2 3 4

X̄ = (X + X + X + X )/4.

1 2 3 4

• Si conosce la distribuzione campionaria della media? NO è incognita.

• Si conosce il valore atteso della distribuzione campionaria della media? SÌ, è anni.

E( X̄) = µ = 50

2

• Si conosce la varianza della distribuzione campionaria? SÌ, è var(

X̄) = σ /n = 100/4 = 25.

35

8.4

Rispondere all’esercizio precedente se n = 100.

Soluzione

• Si conosce la distribuzione campionaria della media? SÌ, poiché la dimensione del campione è grande

ha approssimativamente distribuzione normale.

• Si conosce il valore atteso della distribuzione campionaria della media? SÌ, è anni.

E( X̄) = µ = 50

2

• Si conosce la varianza della distribuzione campionaria? SÌ, è var(

X̄) = σ /n = 100/100 = 1.

8.5

Il numero di televisori che escono ogni giorno da una certa linea di produzione si distribuisce come una

variabile casuale con deviazione standard (nota) di La media giornaliera della linea di produzione

17.4.

determinata su un campione di giorni è Quale dei seguenti intervalli rappresenta un intervallo di

20 452.3.

confidenza al 95% per la media della produzione in un giorno?

±

A) 453 9.4

±

B) 452.3 13.8

±

C) 452.3 11.3

±

D) 452.3 7.63

Soluzione ∼

# televisioni

X = N (µ =?, σ = 17.4).

NOTA: il sigma fornito dal testo è la deviazione standard della popolazione. √ √

La stima di con un campione di elementi è con un errore standard

µ n = 20 452.3 ES = σ/ 20 = 17.4/ 20 =

L’intervallo di confidenza (IC) al 95% è

3.890758. ±

452.3 M E

con un margine di errore M E = 1.96 ES = (1.96)(3.890758) = 7.625886.

Quindi la risposta è (arrotondando a 2 decimali) la D).

8.6

L’errore di stima è la differenza tra il valore di una statistica determinata su un campione ed il corrispondente

valore del parametro determinato nella popolazione. Vero o falso?

Soluzione

L’errore di stima è la differenza tra uno stimatore e il parametro. Il termine “statistica” è sinonimo di

stimatore, e vuol dire un indice calcolato sul campione.

Quindi la risposta è: Vero.

8.7

Il tempo che gli studenti dedicano allo studio segue una distribuzione normale con deviazione standard di 8

ore. Si estrae un campione casuale di studenti. La probabilità che la media campionaria differisca dalla

4

media della popolazione per più di ore è

4 36

A) 0.2987 B) 0.3080 C) 0.3174 D) 0.3085

Soluzione ∼

Tempo = X N (µ =?, σ = 8).

Se ho un campione di dimensione la media campionaria ha distribuzione

n = 4, X̄ = (X + X + X + X )/4

1 2 3 4

∼

X̄ N (µ =?, σ = 8/2 = 4).

X̄

La probabilità che differisca da per più di 4 ore è

X̄ µ

− − − − −

P (|

X̄ µ| > 4) = 1 P (−4 < X̄ µ < 4) = 1 P (µ 4 < X̄ < mu + 4)

NOTA: Fate attenzione a queste disuguaglianze, studiatele con calma.

Quindi se si standardizza rispetto alla sua media e alla sua deviazione standard = 4 si ha

X̄ µ

− − − − −

P (|

X̄ µ| > 4) = 1 P (−1 < Z < 1) = 1 (0.8413 (1 0.8413)) = 0.3174

e quindi la risposta corretta è la C).

8.8

Uno stimatore è una variabile casuale calcolata su un campione casuale che fornisce la stima puntuale per il

parametro della popolazione. Vero o falso?

Soluzione È esattamente così: la stima è un numero, mentre lo stimatore è una variabile casuale calcolata

sul campione che fornisce una stima del parametro della popolazione. Quindi: Vero.

8.9

Un intervallo di confidenza al 95% per la media della popolazione è stimato da a Se ora viene

µ 65.48 76.52.

stimato un intervallo di confidenza al 90% per sarà:

µ

A) più ampio di quello al 95%.

B) lo stesso dell’intervallo al 95%.

C) più stretto di quello al 95%.

D) Non c’è abbastanza informazione per rispondere.

Soluzione

Un intervallo di confidenza è ±

X̄ M E

dove il margine di errore è

M E, √

M E = z σ/ n.

α/2

L’ampiezza dell’intervallo cresce o decresce con Se il livello di confidenza cambia, cambia perché

M E. M E

cambia . Allora, ad esempio abbiamo:

z α/2 −

Livello 1 α α/2 z α/2

95% 2.5% 1.96

90% 5% 1.64

Quindi se il livello è 90% il è più piccolo e l’intervallo di confidenza è meno ampio. La risposta giusta

M E

è C). 37

8.10

Un’agenzia turistica è interessata all’ammontare medio di denaro speso al giorno da un tipico studente

universitario durante le vacanze estive. Un’indagine condotta su 30 studenti mette in luce che la somma

media spesa è 63.57 Euro con una deviazione standard di 17.32 Euro. Determinare l’intervallo di confidenza

al 95% per la spesa media nella popolazione.

Soluzione ∼

Spesa giornaliera di uno studente = Da un campione di studenti si sa che

X N (µ =?, σ =?). n = 30

Euros Euro

X̄ = 17.32

= 63.57

NOTA: la deviazione standard fornita è quella del campione NON quella della popolazione.

−

Quindi l’IC per è basato sulla t di Student con gradi di libertà:

µ n 1 = 29

√

±

X̄ t s/ n

α/2

ossia √

±

63.57 (2.045)17.32/ 30

Cioè IC = (57.10333, 70.03667).

8.11

Da una popolazione infinita con media pari a 80 e deviazione standard 18, vengono selezionati campioni

casuali di dimensione La media e l’errore standard della relativa distribuzione campionaria della

n = 36.

media sono rispettivamente:

�A) 80 e 18. B) 80 e 3. C) 36 e 2. D) 80 e 2.

Soluzione

La media di un campione iid di elementi da una QUALSIASI distribuzione è dale che

X̄ n = 36 X

√

2

E(

X̄) = µ, var(

X̄) = σ (X)/n, ES( X̄) = σ(X)/ n