Appunti degli studenti per corsi ed esami del Prof. Toigo Alessandro

Appunti di Probabilità e statistica. 1. Probabilità. Definizione assiomatica di probabilità: spazio dei campioni, eventi, probabilità. Proprietà della funzione di probabilità. Probabilità condizionata e indipendenza stocastica. Formule delle probabilità totali, di Bayes e di moltiplicazione. Prove di Bernoulli. Esempi e applicazioni. 2. Variabili aleatorie. Definizione di variabile aleatoria. Funzione di ripartizione. Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue. Valore atteso, varianza, deviazione standard, quantili e loro proprietà. Esempi di densità notevoli, loro proprietà e applicazioni: densità uniforme discreta, bernoulliana, binomiale, geometrica, poissoniana, ipergeometrica, uniforme continua, esponenziale, gamma, normale (o gaussiana). Affidabilità: intensità di guasto, modelli per tempi di vita, densità di Weibull. Densità di una funzione di variabile aleatoria: metodo della funzione di ripartizione. Momenti di una densità. Disuguaglianza di Chebichev. Trasformazioni affini di variabili aleatorie e loro effetto su valore atteso, varianza e densità. Standardizzazione di una variabile aleatoria. Funzione generatrice dei momenti e sue proprietà. Esempi e applicazioni. 3. Vettori aleatori. Definizione di vettore aleatorio. Funzione di ripartizione congiunta e funzioni di ripartizione marginali. Vettori aleatori discreti e assolutamente continui. Densità congiunte e marginali. Indipendenza di variabili aleatorie e di vettori aleatori. Densità e valore atteso condizionati nel caso discreto e assolutamente continuo: principali proprietà. Funzioni di vettori aleatori discreti e assolutamente continui. Massimo e minimo di variabili aleatorie. Trasformazioni affini. Somma di variabili aleatorie. Convoluzione discreta e continua. Riproducibilità della densità binomiale, poissoniana, gamma e normale. Valore atteso di una funzione di un vettore aleatorio. Valore atteso della somma di variabili aleatorie. Valore atteso della densità binomiale e dell’ipergeometrica. Valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie indipendenti. Covarianza, coefficiente di correlazione lineare e loro proprietà. Varianza della somma di variabili aleatorie. Varianza della densità binomiale. Media campionaria, suo valore atteso e sua varianza. Varianza campionaria e suo valore atteso. Legge debole e legge forte dei grandi numeri. Teorema centrale del limite: enunciato, esempi e conseguenze. Approssimazione normale. Matrice delle covarianze. Distribuzioni normali multivariate e loro principali proprietà. 4. Distribuzioni campionarie per popolazioni gaussiane. Campione aleatorio e statistiche. Distribuzione congiunta di media e varianza campionarie per un campione gaussiano. Distribuzioni chi-quadrato e t di Student. 5. Teoria della stima. Stimatori e stime. Errore quadratico medio. Proprietà esatte e asintotiche degli stimatori: non distorsione, non distorsione asintotica, consistenza, normalità asintotica. Metodo dei momenti e metodo di massima verosimiglianza per la costruzione di stimatori puntuali. Intervalli di confidenza e metodo della quantità pivotale. Intervalli di confidenza per il valore atteso e per la varianza di una popolazione gaussiana. Intervalli di confidenza per caratteristiche unidimensionali di una popolazione esponenziale. Intervalli di confidenza per il valore atteso di una popolazione non gaussiana nel caso di grandi campioni. 6. Verifica delle ipotesi. Ipotesi statistiche semplici e composte. Errori di primo e di secondo tipo. Regione critica e statistica test. Livello di significatività di un test. Curva OC e funzione potenza. p-value. Test per il valore atteso e la varianza di un campione gaussiano (test Z, T e chi-quadrato). Altri esempi di test parametrici. Connessione fra verifica delle ipotesi e intervalli di confidenza. Test per il confronto tra i valori attesi di due popolazioni gaussiane. Test per il valore atteso di popolazioni non gaussiane nel caso di grandi campioni. Altri esempi e applicazioni: inferenza asintotica per popolazioni bernoulliane.