Probabilità e statistica

1. Probabilita'

La probabilita' serve a verificare quando e' plausibile che avvenga un evento.

Esperimento aleatorio esperimento del quale non si puo' predire in precedenza il risultato.

L'insieme di tutti i risultati e' chiamato spazio campionario (Ω), ogni elemento di esso e' detto esito elementare.

Evento: Un evento (A) e' un sottoinsieme dello spazio campionario (Ω) tale per cui A sub Ω.

Operazioni tra eventi:

• Unione: A U B
• Intersezione: A n B
• Complementare: A^c

• Evento impossibile: φ -> P(φ)=0
• Evento certo: Ω -> P(Ω)=1

Definizione assiomatica della probabilita': La probabilita' e' una funzione P: F -> [0;1] che associa ogni evento A ad una probabilita' P(A). Assiomi fondamentali:

• Non negativita': Dato A sub Ω P(A) >= 0
• Prob. evento certo: P(Ω)=1
• Additivita' numerabile: V serie di eventi incompatibili E₁ n E₂ = φ P(E₁ U E₂) = P(E₁) + P(E₂)

Proprieta' della probabilita':

• Prob. del complementare: P(A^c) = 1 - P(A)
• Monotonia: Se A sub B allora P(A) <= P(B)

Probabilita' dell'unione: P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

Se A e B sono incompatibili allora P(A n B) = 0 e P(A u B) = P(A) + P(B)

Probabilita' condizionata: Supponiamo di sapere con certezza che l'evento B sia successo, qual'e' la probabilita' dell'evento sapendo che B e' avvenuto? P(A|B) = P(A n B) / P(B) con P(B) > 0

Formula di Moltiplicazione: P(A n B) = P(A|B) . P(B) = P(B|A) . P(A)

Indipendenza Stocastica: Due eventi A e B sono indipendenti se l'avvenire di uno non influenza l'avvenire dell'altro.

P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B) P(A n B) = P(A) . P(B)

Diverso da incompatibili dove P(A n B) = 0

Formula delle Probabilita' Totali: Supponiamo di avere una partizione dello spazio campionario B1, B2, ... Bn tale che Bi n Bj = 0 con i != j e B1 u B2 u ... u Bn = Omega

Allora A = (A n B1) u (A n B2) u ... (A n Bn) e P(A) = sum P(A n Bi) = sum P(A|Bi) . P(Bi)

Teorema di Bayes serve per ottenere P(A|B) sapendo P(B|A)

P(A n B) = P(B|A) . P(A) = P(A|B) . P(B) x la formula di moltiplicazione

P(A|B) = P(B|A) . P(A) / P(B) ricavo P(A|B)

Se B1, B2, ..., Bn partizione

P(Bi|A) = P(A|Bi) . P(Bi) / sum P(A|Bj) . P(Bj)

Prove di Bernoulli

Caratteristiche successione di Bernoulli:

1. Stesso esperimento ripetuto
2. Due soli risultati
3. Probabilita di successo p costante
4. Prove indipendenti.

Una prova di Bernoulli e un esperimento che ha solo due risultati: successo, insuccesso

P(S)=p    P(F)=q = 1 - p    q = 1 - p

2. Variabili Aleatorie

Definizione: Consideriamo uno spazio di probabilita (Omega, F, P)

Una variabile aleatoria e una funzione x: Omega -> R che associa ad ogni risultato dell'esperimento un num reale.

Distribuzione di variabile aleatoria: Una volta definita X, vogliamo sapere con quale probabilita X assume determinati valori. L'insieme di probabilita associate ai val. di X costituisce la sua distribuzione di probabilita.

Funz. di ripartizione: La funz. di ripartizione di X e F_X(x)=P(X