Esercitazione meccanica computazionale

*SPRING, ELSET=MOLLA

1

16493000

- Definizione delle caratteristiche fisiche e geometriche delle aste

Si usa il commando SOLIDSECTION per definire le proprietà della sezione di elementi solidi.

Per questo problema sono stati scelti tondini di acciaio da 10mm, vengono definiti due materiali diversi

(alfazero e steel) per le sollecitazioni termiche che interessano solo le aste FRAMEDEF.

Il comando ELASTIC indica che il materiale è elastico, seguono i valori del modulo di Young e il

coe iciente di Poisson.

Solo per le aste caricate termicamente si inserisce il coe iciente di espansione termica.

*SOLID SECTION,ELSET=FRAME, MATERIAL=ALFAZERO

0.0000785

*MATERIAL,NAME=ALFAZERO

*ELASTIC, TYPE=ISOTROPIC

210.E9,0.3

**

*EXPANSION, TYPE=ISO

0.0

**

*SOLID SECTION, ELSET=FRAMEDEF, MATERIAL=STEEL

0.0000785

**

*MATERIAL, NAME=STEEL

*ELASTIC, TYPE=ISOTROPIC

210.E9,0.3

** 38

*EXPANSION, TYPE=ISO

12.0E-6

- Definizione temperatura iniziale

Con questo comando si definisce la temperatura iniziale nei nodi.

*INITIAL CONDITIONS, TYPE=TEMPERATURE

NALL,0

Nella seconda parte del codice di input si sottopone la struttura ai carichi, e si richiedono al software i

risultati relativi alle forze applicate.

- Definizione analisi statica

Si indica il tipo di analisi da eseguire.

**Inizio History data

*STEP, PERTURBATION

-5kN 108

T=+10°C

*STATIC

- Condizioni al contorno

I vincoli sono definiti tramite il comando BOUNDARY: nodo, vincolato dal gdl a, al gdl b.

*BOUNDARY

101,1,2

102,2,2

- Carichi

CLOAD è il comando che definisce i carichi concentrati: nodo, direzione, modulo e verso.

*CLOAD

108,2,-5.E3

- Carico Termico

Si indicano le temperature relative agli estremi delle aste sottoposte a carico termico.

*TEMPERATURE, OP=MOD

101, 10

103, 10

105, 10

109, 10 39

- Output richiesto

Si chiede al software di fornire i risultati dell’analisi relativi agli spostamenti nodali (U), reazioni vincolari

(RF), sforzi assiali (S)

*NODEPRINT

U,

RF,

*ELPRINT

S

*ENDSTEP

Eseguendo il codice de file .inp tramite Abaqus Command, si ottengono i risultati elencati nel file .dat.

- Spostamenti

NODE FOOT- U1 U2

NOTE

102 -2.9706847E-04 0.0000000E+00

103 -1.4448186E-03 -3.0751363E-04

104 -1.3074299E-03 7.8599264E-05

105 -2.1097672E-03 1.1649844E-04

106 -2.4068357E-03 -5.7432718E-04

107 -3.6194420E-03 -8.0933345E-03

108 -4.2257451E-03 -1.6824948E-02

109 3.6577172E-04 8.3757899E-04

110 1.5783780E-03 -1.1806303E-03

111 2.1846811E-03 -8.6996376E-03

- Reazioni vincolari

NODE FOOT- RF1 RF2

NOTE

101 6.0326730E+03 8.0980191E+03

102 0.0000000E+00 -3.0980191E+03

- Sforzi assiali

ELEMENT PT FOOT- S11

NOTE

11 1 -3.1192E+07

12 1 -5.7489E+07

13 1 -6.4514E+07

14 1 4.4112E+07

15 1 8.2529E+06 40

16 1 1.4426E+07

17 1 1.9321E+07

18 1 -6.4514E+07

19 1 4.4112E+07

20 1 -6.8557E+07

21 1 -3.1192E+07

22 1 -1.2732E+08

23 1 -6.3662E+07

24 1 5.0513E+07

25 1 -7.1437E+07

26 1 -6.3662E+07

27 1 9.0031E+07

28 1 -6.3662E+07

29 1 9.0031E+07

30 1 1.2732E+08

31 1 6.3662E+07

Gli sforzi assiali moltiplicati per l’area della sezione forniscono il valore delle Forze assiali, che si

confrontano con i valori ottenuti tramite gli altri metodi numerici.

Tramite Abaqus Viewer si può visualizzare la struttura e i risultati (espressi in unità di misura del S.I):

- Output grafici

Vincoli e carichi applicati 41

Tensioni assiali

Struttura in configurazione deformata sovrapposta alla configurazione indeformata. Si tenga conto che la

deformata rappresenta le deformazioni reali amplificate di un fattore 40.

Spostamenti nodali 42

1.4. Confronto dei risultati

Si riportano le soluzioni ottenute dalla risoluzione della struttura in esame, così da poterli confrontare,

nei tre metodi di verifica richiesti:

1. Soluzione analitica (PLV);

2. Soluzione matriciale FEM;

3. Soluzione a mezzo codice Abaqus.

Per uniformare i risultati ottenuti si tenga conto della seguente convenzione della numerazione dei

nodi, degli spostamenti nodali e degli sforzi assiali.

- Numerazione di nodi e aste - Spostamenti

- forze assiali

- Spostamento orizzontale ( ) [m]

Nodo Soluzione analitica Soluzione FEM Soluzione con Abaqus

A -- -0,004226 -0,004226

B -- 0,002185 0,002185

C -- -0,003619 -0,003619

D -- 0,001578 0,001578

E -- -0,002407 -0,002407

F -- 0,000366 0,000366

G -- -0,002110 -0,002110

H -- -0,001448 -0,001445

I -- -0,001307 -0,001307

L -- 0,000000 0,000000

M -- -0,000297 -0,000297 43

- Spostamento verticale ( ) [m]f

Nodo Soluzione analitica Soluzione FEM Soluzione con Abaqus

A -0,016825 -0,016825 -0,016825

B -- -0,008700 -0,008700

C -- -0,008093 -0,008093

D -- -0,001181 -0,001181

E -- -0,000574 -0,000574

F -- 0,000838 0,000838

G -- 0,000116 0,000116

H -- -0,000308 -0,000308

I -- 0,000079 0,000079

L -- 0,000000 0,000000

M -- 0,000000 0,000000

- Forza assiale (N) [N]

Asta Soluzione analitica Soluzione FEM Soluzione con Abaqus

7071,067 7071,068

AB 7071,035

-5000,000 -5000,000

AC -5000,013

-5000,000 -5000,000

CB -5000,013

5000,000 5000,000

BD 5000,013

7071,067 7071,068

DC 7071,035

-10000,000 -10000,000

CE -9999,713

-5000,000 -5000,000

ED -5000,013

10000,000 10000,000

DF 9999,713

-5610,648 -5610,648

FE -5610,662

3967,327 3967,327

FG 3967,291

-2449,835 -2449,835

GE -2449,820

-5384,489 -5384,488

EI -5384,467

-5066,898 -5066,899

EH -5066,930

3464,590 3464,589

GI 3464,556

1517,492 1517,492

GH 1517,471

1133,003 1133,004

HI 1133,018

648,184 648,185

IM 648,183

-5066,898 -5066,899

IL -5066,930

3464,590 3464,589

HM 3464,556

-4515,181 -4515,181

HL -4515,186

-2449,835 -2449,835

ML -2449,820 44

- Reazioni vincolari [N]

Reazioni vincolari Soluzione analitica Soluzione FEM Soluzione con Abaqus

6032,673 6032,673 6032,673

HI 8098,019 8098,019 8098,019

VI -3098,019 -3098,019 -3098,019

VM

- Considerazioni finali

Dall’analisi dei risultati ottenuti tramite il metodo analitico, il metodo degli elementi finiti (FEM) e a

mezzo codice Abaqus, si osserva una notevole coerenza tra le soluzioni.

In particolare, mettendo a confronto gli spostamenti nodali, le azioni assiali e le reazioni vincolari

ottenuti dalle tre soluzioni, si nota che le di erenze per le soluzioni approssimate (FEM e Abaqus)

manifestano di erenze dalla soluzione analitica soltanto a partire dalla terza cifra decimale. 45

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRENTO

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE, AMBIENTALE E MECCANICA

ESERCITAZIONE 2

Corso di laurea in Ingegneria Civile

Anno Accademico 2024/2025

Corso: Meccanica Computazionale delle Strutture 1

Docenti: Piccolroaz Andrea

Tomaselli Matteo

Studenti: Pizzini Valentina (237250)

Mezzaro Lorenzo (237960)

Ceranelli Denise (239543)

INDICE

- Esercitazione 2

2.1 Introduzione e dati del problema ............................................................................................... 56

2.2 Soluzione tramite formule analitiche ......................................................................................... 57

2.3 Soluzione tramite Abaqus CAE - elementi finiti .......................................................................... 57

2.4 Confronto risultati .................................................................................................................... 69

55

2. ESERCITAZIONE 2

2.1. Introduzione e dati del problema

L’esercitazione 2 prevede la modellazione a mezzo FEM della seguente geometria di una lastra piana

in acciaio soggetta a momento, trovandone la concentrazione degli sforzi attraverso un progressivo

infittimento della mesh. Verrà infine calcolato il fattore di concentrazione degli sforzi Kt, che dovrà

andare a convergenza rispetto al valore trovato tramite la formula o erta nel testo dell’esercitazione.

Geometria della lastra:

 = 675

 altezza totale della cavità

ℎ = 150 ,

 = 60

 Per quanto riguarda la lunghezza della lastra, è stato consigliato un valore almeno pari a 1,5/2

volte quello dell’altezza D, così da trascurare e etti tridimensionali vicino ai bordi e assumere

che le tensioni trovate siano rappresentative del comportamento globale.

La scelta è quindi ricaduta su

= 1350

 Come spessore abbiamo ipotizzato

= 20

Il testo dell’esercitazione o riva anche altri dati per caratterizzare il materiale:

 = 210000

 ˅ = 0,3 56

 = 0,000012 °

Come ultima cosa si è ipotizzato un carico di trazione e compressione di applicato

= 12

rispettivamente ai lati inferiori e superiori della lastra, per garantire la rotazione e il conseguente

momento.

2.2. Soluzione tramite formule analitiche

La formula o erta dall’esercitazione è la seguente:

ℎ ℎ ℎ

= + + +

Dove

= 0.721 + 2.394 ℎ/ − 0.127ℎ/

= −0.426 − 8.827 ℎ/ + 1.518ℎ/

= 2.161 + 10.968 ℎ/ − 2.455ℎ/

= −1.456 − 4.535 ℎ/ + 1.064ℎ/

Risolvendo le equazioni con i nostri valori di riferimento, risulta

= 4,188746359

= −10,58771245

= 13,36543069

= −5,966464594

Il risultato analitico finale di Kt è quindi = 2,430467032

Per confrontare il Kt analitico con quello trovato con elementi finiti, la formula è la seguente:

=

Il si ricava da Abaqus, mentre il si ricava con le formule della meccanica. Nel nostro caso,

come suggerito in aula

6

= = 29,76

Con = ∙ ∙ = 27337500

2.3. Soluzione tramite ABAQUS CAE - Elementi Finiti

Per definire il modello geometrico, e in generale per svolgere questa seconda esercitazione, viene

utilizzata l’interfaccia CAE di Abaqus. 57

Come prima cosa è necessario definire le grandezze utilizzate; nel nostro caso parliamo di mm per le

lunghezze e MPa per gli sforzi.

Per creare la geometria della lastra, è necessario utilizzare il comando PART per creare i contorni; la

lastra ha caratteristiche di shell bidimensionale (lo spessore è trascurabile) e deformabile.

A questo punto si crea il materiale, con le caratteristiche date dal testo; si tratta di acciaio.