Triangolo in rotazione e quadrilatero equivalente al suo quadruplo

Complementi di matematica: trasformazioni geometriche

Esercizi svolti

Parallelogrammi in simmetria assiale

Triangolo in rotazione e quadrilatero equivalente al suo quadruplo.

Parallelogrammi in simmetria assiale

Triangolo in rotazione e quadrilatero equivalente al suo quadruplo.

Parallelogramma e simmetria assiale

1. ABCD è un parallelogramma. B' e D' sono i trasformati di B e D mediante la simmetria assiale con asse AC.

Dimostra che A' B' C' D' è un parallelogramma.

Ipotesi

• ABCD parallelogramma
• Simmetria assiale con asse AC
• B' = s(B)
• D' = s(D)

Tesi

A' B' C' D' è un parallelogramma

Dimostrazione

Indichiamo con P l'intersezione tra AC e BB', con Q l'intersezione tra AC e DD'.

I triangoli BPC e AQD sono rettangoli per ipotesi e sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. Infatti BP ≅ DQ per ipotesi (sono altezze di due triangoli congruenti relativi alla stessa base) e BĈP ≅ DAQ̂ perché angoli alterni interni rispetto alle rette parallele per BC e AD tagliate dalla trasversale AC. Dalla congruenza dei due triangoli si ha, in particolare, che BP ≅ DQ.

I triangoli B'CP e BPC sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli (PB' ≅ PB per ipotesi, PC in comune, B'ĈP ≅ ĈPB per ipotesi). Analogamente i triangoli D'AQ e AQD sono congruenti.

Allora, per la transitività della congruenza, D'AQ̂ ≅ B'PĈ. In particolare AD′ ≅ B'C e PĈB' ≅ QAD̂'. Quindi anche B'C ∥ AD′ perché PĈB e QAD̂ sono angoli alterni interni rispetto a queste rette tagliate dalla trasversale AC.

Da B'C ≅ AD′ e B'C ∥ AD′ segue che il quadrilatero AB'CD' è un parallelogramma.