Triangolo corrispondente in una trasformazione composta

Complementi di matematica

Trasformazioni geometriche

Esercizi svolti

Triangolo corrispondente nella trasformazione r • t

Simmetria assiale, trovare il punto unito

Triangolo corrispondente nella trasformazione r • t

Simmetria assiale, trovare il punto unito

Rotazione e traslazione

Sia r la rotazione di centro l'origine e angolo + 90° e t la traslazione di vettore v̅(−3; −2). Considera il triangolo ABC di vertici A(0; −2), B(3; 3), C(4; −1). Determina il triangolo corrispondente ad ABC nella trasformazione r ∘ t.

Dati:
r: rotazione di centro O e angolo + 90°
t: traslazione di vettore v̅(−3; −2)
A(0; −2), B(3; 3), C(4; −1)

Scriviamo le equazioni della rotazione r:
r: { x' = −y, y' = x }

Scriviamo le equazioni della traslazione t:
t: { x' = x − 3, y' = y − 2 }

Determiniamo le immagini dei vertici A, B, C del triangolo mediante la traslazione r ∘ t:

• A(0; −2) → t(A) = (−3; −4) → r(t(A)) = (4; −3);
• B(3; 3) → t(B) = (0; 1) → r(t(B)) = (−1; 0);
• C(4; −1) → t(C) = (1; −3) → r(t(C)) = (3; 1).

I vertici del triangolo trasformato sono quindi:
A'(4; −3), B'(−1; 0), C'(3; 1).

Rappresentiamo il triangolo ABC e il suo trasformato A' B' C' in un riferimento cartesiano.

Simmetria assiale

Considera la simmetria assiale con asse y = -1. La trasformata della retta r è la retta r' di equazione x - y - 4 = 0.

1. Determina l’equazione della retta r.
2. Trova le coordinate del punto unito di r rispetto alla simmetria.

Equazioni della simmetria

Le equazioni di una simmetria assiale con asse di equazione y = a sono:
{ x' = x, y' = 2a - y }

Per a = -1:
{ x' = x, y' = 2·(-1) - y }
{ x' = x, y' = -2 - y }

Le equazioni della trasformazione inversa sono:

{ x = x', y = -2 - y' }

Sia ax + by + c = 0 l’equazione della retta r. Sostituiamo nell’equazione di r l’espressione della x e della y in funzione di x' e y' ed eliminiamo gli apici.