Trasmissione numerica - esercitazione segnali aleatori

Z

104

2.3.6 Esercizio 70

Un processo casuale X(t) = S + W (t) é dato dalla somma del rumore W (t)

Gaussiano bianco (stazionario a valor medio nullo) con densitá spettrale di

potenza bilatera N /2, e della variabile casuale discreta S, che assume valore

0

0 o 1 con uguale probabilitá e che varia da realizzazione a realizzazione.

Il segnale X(t) entra in un filtro passabasso ideale H(f ) con frequenza di

taglio 2 Hz (H(f ) = 2rect (f /4)).

Caratterizzare il processo stazionario Y (t) all’uscita del filtro, determinan-

done la densitá di probabilitá, il valor medio e la funzione di autocorrelazione

(S e W (t) sono indipendenti).

Soluzione

All’uscita del filtro abbiamo

Y (t) = A + D(t),

ove A é il valore di S all’uscita del filtro e D(t) é il rumore filtrato.

E{D(t)} = 0; !

Ã

N f

0

S (f ) = 4 ;

rect

D 2 4

Z

2 2

P = σ = E{D } = S (f )df = 8N ;

D D 0

D 1 2

D

√ ;

f (D) = e 16N 0

2π8N 0

A = SH(0) = 2S;

1 1

f (A) = δ(A) + δ(A − 2).

2 2

La densitá di probabilitá del processo Y (t) é data da

f (Y ) = f (A + D)

= f (A) ⊗ f (D) (D−2)2

1

1 1 1

2

D

√ √

+ .

= e e

16N 16N

0 0

2 2

2π8N 2π8N

0 0

La densitá di probabilitá di Y (t) dunque é data dalla somma di due gaus-

2

siane, centrate in 0 e in 2, con ampiezza 1/2 e varianza σ = 8N .

0

E{Y (t)} = E{X(t)}H(0) = 1;

105

E{Y (t)Y (t + τ )} = E{(A + D(t))(A + D(t + τ ))}

(1) 2

= E{A } + E{D(t)D(t + τ )}

" Ã !#

1 f

1 −1

) + 4( ) + F S (f ) = 2N rect

= 0( D 0

2 2 4

= 2 + 8N sinc(4τ ).

0

1 A e D(t) sono indipendenti, inoltre E{D(t)} = 0, quindi il valor medio dei prodotti

incrociati é nullo. 106

2.3.7 Esercizio 71

Il processo casuale stazionario X(t) é noto statisticamente.

Determinare la fuzione di autocorrelazione e la densitá spettrale di potenza

del processo casuale Y (t) = X(t) − X(t − t ).

0

Se il processo X(t) é Gaussiano con valor medio η e densitá spettrale di

X

potenza à !

f 2

S (f ) = rect + η δ(f ),

X X

4

determinare la densitá di probabilitá del processo Y (t), con t = 0.25 sec.

0

Soluzione

R (τ ) = E{Y (t)Y (t − τ )}

Y = E{(X(t) − X(t − t ))(X(t − τ ) − X(t − t − τ ))}

0 0

= E{X(t)X(t − τ )} + E{X(t − t )X(t − t − τ )} +

0 0

− E{X(t − t )X(t − τ )} − E{X(t)X(t − t − τ )}

0 0

= 2R (τ ) − R (τ + t ) − R (τ − t ).

X X 0 X 0

Poiché S (f ) = F[R (τ )] abbiamo che

Y Y j2πt f −j2πf f

S (f ) = 2S (f ) − S (f )(e + e )

0 0

Y X X

= 2S (f )(1 − cos(2πt f )).

X 0

Se X(t) é Gaussiano, anche Y (t) ha densitá di probabilitá Gaussiana, poiché

la trasformazione é lineare.

Il processo é stazionario ed il valor medio é

η (t) = E{Y (t)}

Y = E{X(t)} − E{X(t − t )} = 0.

0

La varianza é 2 2

σ = E{(Y (t) − η ) }

Y

Y 2 2

= E{Y } − η Y

Z 2

= 2(1 − cos(2π0.25f ))df = 8.

−2 2

1 Y

− 2

2σ .

e

f (Y ) = Y

q 2

2πσ Y

107

2.3.8 Esercizio 72

Una tensione costante v viene disturbata da rumore bianco additivo D(t)

0

avente densitá spettrale di potenza S (f ) = ζ. Per reiettare tale disturbo si

N

usano i due sistemi in cascata mostrati in figura in cui B = 1/2T .

Determinare i valori dei coefficienti a, b e c che minimizzano l’errore quadrati-

co medio 2

ε = E{[Y (t) − v ] }

0

tra l’uscita Y (t) e il valore costante v .

0

H(f)

v 1 Z(t)

0 T T

−Β Β f a c

D(t) b

Σ

Y(t)

Soluzione

Sia Z(t) = v + N (t) l’uscita del filtro H(f ), con

0 Ã !

f 2 2

E{N (t)} = 0, S (f ) = rect ζ, σ = E{N (t) } = 2Bζ.

N N

2B

L’uscita del sistema é

Y (t) = az(t) + bz(t − T ) + cz(t − 2T )

= (a + b + c)v + aN (t) + bN (t − T ) + cN (t − 2T );

0

L’autocorrelazione R (τ ) si ottiene antitrasformando S (f )

N N

R (τ ) = 2Bζsinc(τ 2B), R (τ ) = E{N (t)N (t − τ )}.

N N

Considerando che

• E{N (t)N (t − T )} = R (T ) = 0,

N

• E{N (t)N (t − 2T )} = R (2T ) = 0,

N 108

• E{n(t)} = 0,

l’errore quadratico medio ε risulta 2

ε = E{[Y (t) − v ] }

0

2 2

= E{Y (t)} + E{v } − 2E{Y (t)v }

0

0

2 2 2 2 2 2

= (a + b + c) v + (a + b + c )σ +

0 N

2 2

v − 2(a + b + c)v

0 0

2 2 2 2 2 2

= (a + b + c − 1) v + (a + b + c )σ .

0 N

L’errore quadratico medio é una forma convessa e quindi il suo minimo si

trova imponendo ∂ε ∂ε ∂ε

= 0, = 0, = 0.

∂a ∂b ∂c

Dalle tre equazioni precedenti otteniamo il seguente sistema lineare di 3

equazioni in 3 incognite:

 2 2

2(a + b + c − 1)v + 2aσ = 0

 0 N

 2 2

2(a + b + c − 1)v + 2bσ =0

0 N

 2 2

2(a + b + c − 1)v + 2cσ =0

 0 N

 2

σ

(1 + )a + b + c =1

N



 2

v



 0

 2

σ

a + (1 + )b + c =1

N

2

v 0



 2

σ

 a + b + (1 + )c =1

 N

 2

v 0

I valori di a, b e c che minimizzano l’errore quadratico medio sono

2 1

v 0 = .

a = b = c = 2

2 2 σ

3v + σ 3 + N

0 N 2

v 0

Ricaviamo il valore dell’errore quadratico medio minimo:



 2 2

σ

3 N

2



 v + 3

− 1

ε =

min 0



 2 2

σ σ 2

3+ (3 + )

N N

2 2

v v

0 0

2

σ 2 2

)v + 3σ

( N 0 N

2

v

= 0 2

σ 2

)

(3 + N

2

v 0

2

σ

2 (

σ + 3)

N

N 2

v

= 0 2

σ 2

)

(3 + N

2

v 0

2

σ N .

= 2

σ

3+ N

2

v 0 109

Se non avessimo usato il filtro 2 2 2

a = b = c =0 ⇒ ε = E{[z(t) − v ]} = E{N (t) } = σ .

0 N

110

2.3.9 Esercizio 73

Nello schema in figura il processo aleatorio N (t) é Gaussiano con densitá

spettrale di potenza S (f ) = N /2.

N 0

Campionando agli istanti t = 2kT (k = 1, 2, ..., n) il processo X(t) in usci-

k

ta al filtro H(f ) (di banda B = 1/T ) si ottiene un sistema di n variabili

aleatorie X ≡ X(2kT ). Determinare la densitá di probabilitá congiunta

k

f (x , x , ..., x ) di tale sistema.

X 1 2 n t

H(f) K

1

N(t) + W(t) X(t) X K

T - f

-B B

Soluzione W (t) = N (t − T ) − N (t);

R (τ ) = E{W (t)W (t − τ )}

W = E{[N (t − T ) − N (t)][N (t − T − τ ) − N (t − τ )]}

= E{N (t − T )N (t − T − τ )} + E{N (t)N (t − τ )} −

−E{N (t)N (t − T − τ )} − E{N (t − T )N (t − τ )}

= 2R (τ ) − R (τ − T ) − R (τ + T )

N N N

N 0 (δ(τ − T ) − δ(τ + T )).

= N δ(τ ) −

0 2

R (τ ) = R (τ ) ⊗ R (τ ).

X W h ¶

µ

2 2τ

−1 2 .

R (τ ) = F [|H(f )| ] = sinc

h T T

! !

à Ã

¶

µ N 2(τ − T ) N 2(τ + T )

2 2τ 0 0

R (τ ) = N − − .

sinc sinc sinc

X 0 T T T T T T

X(t = 2kT ) = X ,

k k 2

X

µ ¶

2N 1 k

−

0 2

2 2σ .

f = gauss 0, σ = R (0) = = e X

X X q

X

k T 2

2πσ X

111

Sia [X , ...X ] il vettore delle variabili congiuntamente Gaussiane. Poiché

1 n

R (2kT ) = 0 le variabili X sono tra loro incorrelate ed essendo Gaussiane

X k 2

sono anche indipendenti, ognuna con valor medio nullo e varianza σ =

X

R (0) = N 2/T , da cui

X 0 P 2

X

1 i

− 2

2σ

f (X ...X ) = f (X )f (X )...f (X ) = e X

1 n 1 2 n q 2n

n

(2π) σ X

112

2.3.10 Esercizio 74

Nello schema in figura il processo N (t) é Gaussiano con densitá spettrale di

potenza S (f ) = ζ. Dire se il processo in uscita X(t) é Gaussiano e determi-

N

narne la funzione valor medio η (t) e la funzione di autocorrelazione R (t, τ ).

X X

H(f)

N(t) W(t) W X(t)

1 Interpolatore

k cardinale

kT

f

-1/2T 1/2T

Soluzione

La densitá spettrale di potenza di W (t) é data da

2

S (f ) = S (f )|H(f )| = ζrect(f T ).

W N

La funzione di autocorrelazione del processo W (t) vale dunque

¶

µ τ

ζ .

sinc

R (τ ) =

W T T

Il processo W (t) é a valor medio nullo, allora

C (τ ) = R (τ ),

W W

e all’uscita del campionatore ζ

C = C (iT, jT ) = R ((i − j)T ) = δ(i − j),

i,j W W T

cioé le variabili W , congiuntamente gaussiane, sono incorrelate e quindi

k 2

anche indipendenti con η = 0 e σ = R (0) = ζ/T .

W

Il processo X(t), per un generico impulso interpolatore p(t),

X

X(t) = W p(t − kT ), η = 0,

k X

k

é una combinazione lineare di variabili Gaussiane a valor medio nullo,

dunque é a sua volta Gaussiano a valor medio nullo.

La funzione di autocorrelazione si calcola nel modo seguente )

( X

X W p(t − τ − sT )

W p(t − kT )

R (t, τ ) = E s

k

X s

k X

(1) 2 p(t − kT )p(t − τ − kT ).

= E{W }

k k 113

Se poniamo y(t, τ ) = p(t)p(t − τ ),

possiamo riscrivere la funzione di autocorrelazione come

ζ X

R (t, τ ) = y(t − kT, τ ),

X T k

da cui risulta che, per un generico impulso interpolatore p(t), la funzione di

autocorrelazione R (t, τ ) e’ periodica nella variabile t, con periodo T .

X

Nel caso particolare dell’interpolatore cardinale, con

µ ¶

t

p(t) = sinc ,

T

verifichiamo c