Traccia di esame di Geometria e Algebra Lineare svolta (100% corretta)

C.d.L. in Ingegneria dell’Informazione

Prova di Geometria e Algebra - 14 gennaio 2016

Tempo a disposizione: 3h 30min

1) Geometria Analitica dello Spazio. Fissato nello spazio ordinario un sistema di riferi-

RC(O, − − −

mento cartesiano i, j, k), si considerino i piani α : 5x 12z 25 = 0, β : x + y z + 12 = 0

e π : z = 0.

(a) Trovare la sfera Σ tangente ad α nel punto P (5, 0, 0) ed avente il centro sul piano β.

C ∩

(b) Determinare il centro e il raggio della circonferenza = Σ π.

C

(c) Trovare la retta tangente a nel punto P .

C −

2) Coniche. Sia la conica tangente nel punto A(1, 1) alla retta r : x + y 2 = 0, tangente

−1)

nel punto B(−1, alla retta s : x + y + 2 = 0 e passante per il punto P (−2, 2).

C.

(a) Determinare l’equazione di

C

(b) Classificare dal punto di vista affine e proiettivo.

C.

(c) Trovare centro e assi di 3 3

→ −1, −1)

3) Funzioni Lineari. Sia f : l’endomorfismo avente ~v = (1, 0) e w

~ = (1, 0,

R R −1

come autovettori associati all’autovalore e soddisfacente la condizione f (2, 1, 0) = (4, 5, 6).

(a) Determinare f esplicitamente.

(b) Stabilire se f è un isomorfismo.

(c) Dire se f è semplice. 3

4) Spazi euclidei. Si consideri lo spazio vettoriale con la struttura euclidea standard e

R

3 3

→

l’endomorfismo f : definito da

R R √ √ √ √

2 2 2 2

−

f (x, y, z) = x y, x + y, z .

2 2 2 2

(a) Provare che f è un’isometria.

(b) Determinare il sottospazio U dei punti fissi di f ed interpretare f geometricamente.

⊥

(c) Determinare U .

Quesiti di Teoria.

1. Enunciare e dimostrare il Teorema della Disuguaglianza di Minkowski.

n,n

∈ ±1.

2. Sia A una matrice ortogonale. Provare che det A =

K

N.B.: La prova sarà superata se verrà raggiunta la sufficienza, separatamente,

per la parte relativa agli esercizi e per quella relativa alla teoria. Tutti i procedi-

menti devono essere brevemente giustificati. Costituirà elemento di valutazione

anche la chiarezza espositiva.

Scanned by CamScanner

Scanned by CamScanner

Scanned by CamScanner

Scanned by CamScanner

Scanned by CamScanner

Scanned by CamScanner

Scanned by CamScanner

Scanned by CamScanner