Traccia di esame di Geometria e Algebra Lineare svolta (100% corretta)

C.d.L. in Ingegneria dell'Informazione

Prova di Geometria e Algebra - 14 gennaio 2016

Tempo a disposizione: 3h 30min

1) Geometria analitica dello spazio

Fissato nello spazio ordinario un sistema di riferimento cartesiano RC(O,i,j,k), si considerino i piani ¹ alpha : 5x - 12z - 25 = 0, beta : x + y - z + 12 = 0 e pi : z = 0.

1. (a) Trovare la sfera Sigma tangente ad alpha nel punto P(5,0,0) ed avente il centro sul piano beta.
2. (b) Determinare il centro e il raggio della circonferenza C = Sigma n pi.
3. (c) Trovare la retta tangente a C nel punto P.

2) Coniche

Sia C la conica tangente nel punto A(1,1) alla retta r : x + y - 2 = 0, tangente nel punto B(-1,-1) alla retta s : x + y + 2 = 0 e passante per il punto P(-2,2).

1. (a) Determinare l'equazione di C.
2. (b) Classificare C dal punto di vista affine e proiettivo.
3. (c) Trovare centro e assi di C.

3) Funzioni lineari

Sia f : R³ → R³ l'endomorfismo avente v = (1,-1,0) e w = (1,0,-1) come autovettori associati all'autovalore -1 e soddisfacente la condizione f(2,1,0) = (4,5,6).

1. (a) Determinare f esplicitamente.
2. (b) Stabilire se f è un isomorfismo.
3. (c) Dire se f è semplice.

4) Spazi euclidei

Si consideri lo spazio vettoriale R³ con la struttura euclidea standard e l'endomorfismo f : R³ → R³ definito da f(x,y,z) = ((sqrt2)/2 x - (sqrt2)/2 y, (sqrt2)/2 x + (sqrt2)/2 y, z).

1. (a) Provare che f è un'isometria.
2. (b) Determinare il sottospazio U dei punti fissi di f ed interpretare f geometricamente.
3. (c) Determinare U^⊥.

Quesiti di teoria

1. Enunciare e dimostrare il Teorema della Disuguaglianza di Minkowski.
2. Sia A in K^n,n una matrice ortogonale. Provare che det A = ±1.

N.B.: La prova sarà superata se verrà raggiunta la sufficienza, separatamente, per la parte relativa agli esercizi e per quella relativa alla teoria. Tutti i procedimenti devono essere brevemente giustificati. Costituirà elemento di valutazione anche la chiarezza espositiva.

C.d.L. in Ingegneria dell'Informazione

Prova di Geometria e Algebra - 14 gennaio 2016

Tempo a disposizione: 3h 30min

1) Geometria analitica dello spazio

Fissato nello spazio ordinario un sistema di riferimento cartesiano R(O,i,j,k), si considerino i piani alpha : 5x - 12z - 25 = 0, beta : x + y - z + 12 = 0 e pi : z = 0.

1. (a) Trovare la sfera Sigma tangente ad alpha nel punto P(5,0,0) ed avente il centro sul piano beta.
2. (b) Determinare il centro e il raggio della circonferenza C = Sigma n pi.
3. (c) Trovare la retta tangente a C nel punto P.

2) Coniche

Sia C la conica tangente nel punto A(1,1) alla retta r : x + y - 2 = 0, tangente nel punto B(-1,-1) alla retta s : x + y + 2 = 0 e passante per il punto P(-2,2).

1. (a) Determinare l'equazione di C.
2. (b) Classificare C dal punto di vista affine e proiettivo.
3. (c) Trovare centro e assi di C.

3) Funzioni lineari

Sia f : R³ -> R³ l'endomorfismo avente v = (1,-1,0) e w = (1,0,-1) come autovettori associati all'autovalore -1 e soddisfacente la condizione f(2,1,0) = (4,5,6).

1. (a) Determinare f esplicitamente.
2. (b) Stabilire se f è un isomorfismo.
3. (c) Dire se f è semplice.

4) Spazi euclidei

Si consideri lo spazio vettoriale R³ con la struttura euclidea standard e l'endomorfismo f : R³ -> R³ definito da f(x,y,z) = ((sqrt(2)/2)x - (sqrt(2)/2)y, (sqrt(2)/2)x + (sqrt(2)/2)y, z).

1. (a) Provare che f è un'isometria.
2. (b) Determinare il sottospazio U dei punti fissi di f ed interpretare f geometricamente.
3. (c) Determinare U^⊥.

Quesiti di teoria

1. Enunciare e dimostrare il Teorema della Disuguaglianza di Minkowski.
2. Sia A ∈ K^n,n una matrice ortogonale. Provare che det A = ±1.

N.B.: La prova sarà superata se verrà raggiunta la sufficienza, separatamente, per la parte relativa agli esercizi e per quella relativa alla teoria. Tutti i procedimenti devono essere brevemente giustificati. Costituirà elemento di valutazione anche la chiarezza espositiva.

Svolgimento

1) Dato RC (O, i, j, k)

Si considerino i piani di: 5x - 12z - 25 = 0, B: x + y - z + 12 = 0 e π: z = 0 (π è il piano xy)

a) Trovare la sfera S tangente ad d nel punto P(5,0,0) ed avente centro sul piano B

C (x, y, x + y + 12)

(5, 0, -12)

r: ⁽x = 5t + 5y = 0t + 0z = -12t + 0⁾ → r: ⁽x = 5t + 5y = 0z = -12t

r: {12x = 60t + 60y = 05z = -60t → {12x + 5z - 60 = 0y = 0

C = r ∩ β {x + y - z + 12 = 0y = 012x + 5z - 60 = 0 → {z = x + 1212x + 5x + 60 - 60 = 0 → {z = 12x = 0y = 0

R = d(C,P) = √(5 - 0)² + (0 - 12)² = √25 + 144 = √169 = 13

Σ: (x - 0)² + (y - 0)² + (z - 12)² = 169 ⇔ x² + y² + z² - 24z + 144 - 169 = 0 → x² + y² + z² - 24z - 25 = 0

l) C = Σ ∩ π Determinare centro e raggio

n': {x = 0y = 0z = t + 12 → x = 0y = 0

c': r' ∩ π → c': {x = 0y = 0z = 0

c' = O = (0,0,0)

R' = √R² - d²(C,c') = √169 - 144 = √25 = 5

e) Trovare la retta tangente a l' nel punto P

s: π ∩ d

piano della circonferenza

piano tangente sfera in P

s: {z = 05x - 12z - 25 = 0

2) Conica tangente

Sia c è la conica tangente nel punto A(1,1 alla retta r: x + y - 2 = 0, tangente nel punto B(-1,-1) alla retta s: x + y + 2 = 0, passante per il punto P(-2,2)

1) Determinare l'equazione di c

rAB: (x - xB)/(xA - xB) = (y - yB)/(yA - yB) <=> (x + 1)/(1 + 1) = (y + 1)/(1 + 1) <=> x + 1 = y + 1 <=> x - y = 0

fascia di coniche: lambda(x + y - 2)(x + y + 2) + mu(x - y)² = 0 (lambda, mu) != (0,0)

lambda(-2)(2) + mu 4² = 0 <=> -4lambda + 16mu = 0 <=> -lambda + 4mu = 0 => lambda = 4mu

4mu(x+y-2)(x+y+2)+mu(x-y)²=0 => 4(x+y-2)(x+y+2)+(x-y)²=0

= 4[(x+y)²-4]+(x-y)²=0 => 4x²+4y²+8xy-16+x²+y²-2xy=0 -> 5x²+5y²+6xy-16=0 -> 5x₁²+5x₂²+6x₁x₂-16x₃²=0

b) A = (5 3 0 / 3 5 0 / 0 0 -16) (matrice della conica)

classificazione proiettiva

det A = -16 |5 3 / 3 5| = -16 - 16 = -256 != 0 => rg A = 3 => conica non degenere (o generale)

classificazione affine

D₃₃ |5 3 / 3 5| = 16 > 0 -> ellisse

c) centro e assi

(diametro 1) (diametro 2) -> { 5x₁ + 3x₂ = 0 / 3x₁ + 5x₂ = 0 } -> { y = 0 / x = 0 } C(0,0)

a₁₂l² + (a₂₂ - a₁₁)lm - a₁₂m² = 0

3l² + (5-5)lm - 3m² = 0 -> 3l² = 3m² -> l = m

l = -m

(1,1,0) ← direzioni dei semi assi

(1,-1,0) ← direzioni dei semi assi

x-0/1 = y-0/1 -> x-y = 0

x-0/1 = y-0/-1 -> x+y = 0

3) Funzioni lineari

(3) Sia f : R³ -> R³ l'automorfismo avente v = (1,-1,0) e w = (1,0,-1) come autovettori associati all'autovalore -1 e soddisfacente la condizione f(2,1,0) = (4,5,6)

a) Determinare f esplicitamente

f(1,-1,0) = (-1,1,0)

f(1,0,-1) = (-1,0,1)

f(2,1,0) = (4,5,6)

f(e₁) - f(e₂) = (-1,1,0)

f(e₁) - f(e₃) = (-1,0,1)

2f(e₁) + f(e₂) = (4,5,6)

f(e₁) - f(e₂)

3f(e₁) = (3,6,6) => f(e₁) = (1,2,2)

f(e₃) = (1,2,2) - (-1,0,1) = (2,2,1)

f(e₂) = (1,2,2) + (1,-1,0) = (2,1,2)

f(x,y,z) = (x + 2y + 2z, 2x + 2y + z, 2x + y + 2z)

f fisom <=> det(M_f) != 0

det(A) = |2 1| - |2 1| + |2 2| = -5 != 0

c) f è semplice perché è simmetrica la matrice associata e quindi è diagonalizzabile.

4) Spazi euclidei

R³, struttura euclidea standard

f : R³ -> R³ endomorfismo definito da f(x,y,z) = ( (sqrt2)/2 x - (sqrt2)/2 y, (sqrt2)/2 x + (sqrt2)/2 y, z )

2) Provare che f è un isometria

A = M_f = ( (sqrt2)/2-(sqrt2)/20 (sqrt2)/2(sqrt2)/20 001)

(same) = I₃

b) Determinare il sottospazio U dei punti fissi di f ed interpretarlo geometricamente. Trovare (x,y,z) t.c. f(x,y,z) = (x,y,z) <=> ((sqrt2)/2 x - (sqrt2)/2 y, (sqrt2)/2 x + (sqrt2)/2 y, z) = (x,y,z)

{ (sqrt2)/2 x - (sqrt2)/2 y = x (sqrt2)/2 x + (sqrt2)/2 y = y z = z }

2 sqrt2 x - 4 x = 0 -> 2(sqrt2 - 2)x = 0 -> x = 0

{ x = 0 sqrt2 x = x + yy = 0

U = {(0,0,z) | z e R} = d(e₃)

dim U = 1 -> f è ritorno intorno all'asse z

c) Determinare U⁺

U⁺ = L(e₁, e₂)

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1) Teorema della disuguaglianza di Minkowski

TEOREMA (Disuguaglianza di Minkowski)

Se V è uno spazio euclideo con prodotto scalare g allora

Per u, v in V

||u + v||g <= ||u||g + ||v||g

DIMOSTRAZIONE

Per ogni u, v in V si ha

||u + v||g² = g(u + v, u + v) = ||u||g² + 2g(u, v) + ||v||g² <=<= ||u||g² + 2|g(u, v)| + ||v||g² <= ||u||g² + 2||u||g||v||g + ||v||g² == (||u||g + ||v||g)² => ||u + v||g <= ||u||g + ||v||g c.v.d.