Tracce d'esame svolte Elettrotecnica anni precedenti

Università degli studi della Basilicata

Facoltà di Ingegneria

44/10/2005

PROVA DI ELETTROTECNICA

Allievo __________________________________ matr. _________

Per un migliore risultato:

• leggere attentamente il testo dell’esercizio ed assicurarsi di aver compreso le domande;
• saper scrivere il procedimento di esecuzione e di sviluppo;
• indicare analiticamente lo sviluppo del calcolo e l’insieme dei livelli delle grandezze;
• adottare le misure grafiche e le semplicità nello svolgimento e nei calcoli;
• valutare e misurare il rispetto delle dimensioni delle grandezze;
• riportare alla fine dell’elaborato i risultati ottenuti;
• non usare più di un foglio per ogni esercizio.

TEMPO A DISPOSIZIONE 2.0 H

Es. 1

Per il circuito in figura, operando nel dominio del tempo, si determini:

1. a) il valore dell’energia immagazzinata nel circuito per t=0+;
2. b) l’andamento della tensione ai capi dell’induttore V(t>0).

Es. 2

Si determini la potenza attiva e reattiva totale assorbita dal sistema trifase. Si assuma l’alimentazione costituita da una terna di tensioni simmetrica diretta.

Non scrivere nella zona sottostante

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

MO105

Esercizio 1

Soluzione

Per t≥0 il circuito e' a regime e l'induttore si comporta come un cortocircuito.

Le resistenze R_a e R₂ risultano in serie:

i_a(t) = ^e(t)/_Ra+R2 = 0,1 A

Per t>0 applicando le leggi di Kirchoff all'unica maglia risulta

R_ai_a + L^di_a/_dt + R₁₂i₁₂ = e(t)

posto R_eq = R_a + R₂ = 30 Ω e τ = ^L/_Req = 0,0001 s

si ha

^di_a/_dt + i_a/τ = ^e(t)/_L

La soluzione generale si esprime nella forma

i_a(t) = Λ e^-104t + i^p_a(t)

dove i^p_a(t) è una soluzione particolare che si può ricavare imponendo la condizione di regime:

i^p = ^e(t)/_Ra+R2 = 0,36 A

E_i - I_i correnti nei rami sono:

I_a = 141,09 + 9,84j

I_b = 10,77 - 22,9j

I_c = -26,8 + 2,73j

Ī_a = I_a = 17,152 35

Ī_b = I_b = 27,84 - 66,8

Ī_c = 24,9 ∠ -6,28

Mettendo

V_a2 = Ē_a - Ē₂ = 141,65 + 81,7j

V_b2 = Ē_b - Ē₂ = 163,3j

V_c1 = Ē₃ - Ē_c = -141,65 + 81,7j

Ṽ_a2 = 163,3 ∠ -150

⇒ Ṽ_b2 = 163,3

Ṽ_c1 = 163,3 ∠ 150

W_a = Ṽ_a2 Ĩ_a ∟Ṽ_a2 I_a cos (Ṽ_a2 Ĩ_a)

W₂ = V_c1 Ĩ₃ = V_a1 I₃ cos (Ṽ_c1 I₃)

W_a = 64341,5 cos (85ɸ) = 345,7 w

W₂ = 4066,17 cos (458ɸ) = 3722,7 w

Alimentazione

N̅ = Ē_s Ĩ_a + Ē₂ Ĩ_u + Ē₃ Ĩ_c =

Dove per Ĩ si intende il conjugato ed Ĩ punti:

N̅ = 1324,19 - 927,8j - 507,8 - 1079,7j + 879,9 Ł + 1878,9 + + 1169,3 + 423,47j - 2026, j + 223

⇒ N̅ = 4020,3 - 4864,18j

V_0a = 166,7 + 83,95 - 146,4j + -83,35 + 146,4j

40 20j 10

V_0a = 16,67 + 4 - 7,2j - 8,3 + 146,4j

j

0,2 + 0,05

j

V_0a = 8,37 - 16,4 - 4,2 - 7,2j

j

0,2 j + 0,05

j

V_0a = -1,17 + 18,6j 0,2 + 0,05j

0,2 - 0,05j 0,2 + 0,05j

V_0a = 0,236 + 0,08j + 3,72j - 0,13

0,06 + 0,0025

V_0a = 0,696 + 3,8j - 16,4 + 89,4j

0,0425

È quindi la corrente che circola nel circuito equilibrato

e:

I_in = E_n - V_0a

R

= 18,31 - 8,96j

I_xn = E_x - V_0a

jx

= -66,45 - 233,8j

20j

= -14,7 + 3,35j

I₁₃ = E₃ - V_0a

R

= -6,69 + 57j

Quindi:

E̅₀:

p=0 -> Z̅_q 230∠0°

E̅₀=

E̅₂: y =

-> E̅₂-230

E̅₂=

b =

b=

E̅₂=

E̅₃

y =:

E̅₃=

E̅₃ =

E̅₃

230 e^-j

=

Il carico trifase avvolto equilibrato quindi:

V̅₀ =

V̅_ob:

=

10

20j

230

V̅₀

10

=

20j

10

-

20j

41 + 1

V̅₀:

=

=

j

-

- j

Applicando Kirchhoff all'unica maglia si ha

L di/dt + Req • i = e(t)

con Req = R1 R2 / R1 + R2 = 2,5 Ω

τ = L / Req = 0,8

La soluzione generale sarà

i_t(t) = Ke^-1.25t + i_z

Dove i_z è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione a regime.

i_r = 40 A

La costante K si ottiene imponendo la continuità delle variabili di stato

i(0^-) = i(0⁺) -> 40 = K + 40

-> K = 0

quindi i_t(t) = 40 A

II) Posto X_L = ωL = 4 Ω e Ā = 5

La soluzione generale sarà

i_i(t) = i_i^r(t) + i_i^c(t)

Dove i_i^r(t) è così ricavabile:

per le correnti si ha:

• I̅₁ = 4,86 - 6,28j
• I̅₂ = -7,94 - j
• I̅₃ = 3,1 + 7,37j

->

• I̅₁ = 16,84 + 3,42j
• I̅₂ = -16,25 + 18,04j
• I̅₃ = 30,8 + 26,64j

Infine poiché

• V̅_ab = E̅_a - E̅_b
• V̅_bc = E̅_b - E̅_c -> V̅_bc = -358,6j
• V̅_ca = E̅_c - E̅_a V̅_ca = 310,5 + 179,3j
• V̅₃₁ = -310,5 + 179,3j

Le indicazioni sul vettametro sono

W̅_a = V̅_abI̅₂ = V_bcI_b cos (̂V̅_abI̅₂)

• ̂V̅_abI_c = -̂V̅_a - ̂I̅_c
• ̂V̅_abI̅_c = ̂tan^-1 (^179,3/_310,5) = 30°
• ̂I_c = -49,8° = 312°
• ̂V̅_abI̅_c = 282°

-> W̅_a = -358,5 * 24,28 * cos (282) = 1809,7 W

rete avrà soluzione:

i_L(t) = K e^-t/τ_L

imponendo la condizione a regime si ha:

i_L(0) = i_L(0⁺) => 1 = K + 0,59

=> K = 0,41

i_L(t) = -0,41 e^-3.200t + e^-3.200t

i_L(t) = 0,41 e^-3.200t + 0,59

Infine si ha

i₂(t) = i_L⁽²⁾(0) + i_L⁽¹⁾(t) 0,41 e^-3.200t + 0,59 + 1,47 e^-3,200t - 1,47

=> i_L(t) = 1,88 e^-3.200t- 0,88

Esercizio 2

Soluzione

Per prima cosa calcoliamo la corrente I che percorre il conduttore che collega A e B. Per questo scopo conveneinte applicare il teorema di Thevenin tra i punti a e b;

il sistema si trasforma:

dove Eth = Vax e Rth: (Z_is^A/Z_is^B//Z_is^A/Z_is^B)

=> Rth = Z_is^B/3 + (Z_is^B//Z_is^A)

=> Z_is^A//Z_is^B//Z_is^A

=> X_ajR_aX_aj

=> X_ajR_a/X_aj

V = 1,0 = X_aj