Teoria dei segnali - esercizi vari

T

z(t)

EX. 8 Valutare analiticamente la convoluzione tra il segnale

−Kt

x(t) = e u(t) (K > 0)

y(t) = rect(t/T ).

ed il segnale Determinare, poi, il valor medio, l’energia e la potenza del segnale

w(t) = z(t) u(t − T /2) .

EX. 9 Si determini lo sviluppo in serie di Fourier del segnale

∞

X x(t − k T )

x

(t) =

e k=−∞

con

t − T /2

−αt

x(t) = e rect , α > 0.

T

Dire in che senso converge la serie.

EX. 10 Si considerino i segnali −Kt

x(t) = e u(t), K > 0,

e sin(βt) , β > 0,

y(t) = x(t) ⊗ πt

⊗ K β

dove denota l’operazione di convoluzione. Determinare la relazione tra e affinch é l’energia

y(t) x(t).

di sia pari alla metà dell’energia di

EX. 11 Determinare lo sviluppo in serie di Fourier del segnale

y(t) = rep [x (t) ⊗ x (t)]

1 2

T

⊗

dove denota l’operazione di convoluzione.

y(t) T x(t):

EX. 12 Il segnale periodico di periodo è ottenuto dalla replicazione del segnale aperiodico

∞

X

y(t) = rep [x(t)] = x(t − k T ).

T k=−∞

Dimostrare che ∞

X δ(t − k T )

y(t) = x(t) ⊗ k=−∞

e ricavare, con un procedimento alternativo a quello proposto sul testo, la relazione di campiona-

Y X(f ).

mento in frequenza tra e

k

x(t) = a(t) cos(2πF t) a(t)

EX. 13 Si consideri il segnale dove è un segnale con energia finita il cui

0

A(f ) | f |> F /2. y(t) Y (f )

spettro è nullo per Si consideri, poi, il segnale il cui spettro è legato

0

X(f ) x(t) Y (f ) = X(f )U (f ). y(t) x(t).

allo spettro di dalla relazione Valutare in funzione di

EX. 14 Trovare la trasformata di Fourier del segnale ∞

X

y(t) = x(t) δ(t − k T )

k=−∞

con −|t|

x(t) = e .

EX. 15 Sviluppare in serie di Fourier il segnale ∞

X

y(t) = x(t − k 2π)

k=−∞

con

t − π

2 .

x(t) = t rect 2π

x(t)

EX. 16 Trovare il segnale la cui trasformata di Fourier vale

X(f ) = cos(2πf )rect (2f ) .

t

x(t) = Λ è applicato in ingresso ad un limitatore con caratteristica ingresso-uscita

EX. 17 Il segnale τ y(x) = xrect (2(x − 0.25)) + u(x − 0.5).

y(t)

Sviluppare in serie di Fourier il segale che si ottiene all’uscita del limitatore.

EX. 18 Valutare trasformata di Fourier del segnale

t − T /2 t − 3T /2 t − 5T /2

x(t) = rect + 2rect + 3rect .

T T T

EX. 19 Si supponga di filtrare il segnale ∞

X x(t − k T )

x

(t) =

e k=−∞

dove x(t) = rect(t/T )

0

mediante un filtro LTI avente risposta impulsiva

h(t) = 2h (t) cos(2πf t)

RC 0

dove 1 t

−

h (t) = e u(t)

τ

RC τ

T = T /4 f = 1/T

Supponendo e , determinare la costante di tempo del filtro in modo che

0 0 2/T

l’ampiezza della componente armonica a frequenza del segnale di uscita risulti pari a 1/10

dell’ampiezza della componente fondamentale.

EX. 20 Si consideri il sistema SLS avente risposta armonica

1

H(f ) = rect(f T )

1 + 0.1 cos(2πf T )

T

con costante positiva. Determinare e rappresentare risposta in ampiezza e fase del sistema e

(−B, B), B = 1/2T

stabilire è distorcente (in ampiezza e/o fase) nella banda con . Si progetti,

(−B, B).

inoltre, un egualizzatore ideale per il sistema nella banda L’egualizzatore ottenuto è

fisicamente realizzabile?

EX. 21 Il segnale ∞

X

x

(t) = x(t − 2k T )

e k=−∞

con

t

x(t) = Λ .

T

Tale segnale viene filtrato con un filtro LTI di risposta armonica

1 − j4πf T

H(f ) = 1 + j2πf T

y (t).

e

ottenendo il segnale Si determini la componente continua e il rapporto tra l’ampiezza della

x

(t) y (t).

e e

terza armonica e l’ampiezza dell’armonica fondamentale dei segnali e

EX. 22 Sia dato il segnale ∞

X x(t − 2k T )

x

(t) =

e k=−∞

con

t t

x(t) = Λ − 1 rect

T 2T

y (t) x

(t)

e e

e sia la risposta al segnale di un filtro ideale passabasso di guadagno unitario e banda

B. x

(t) B

e

monolatera Valutare la trasformata di Fourier di e determinare la banda in modo che

y (t) f = 1/(2T ).

e sia un segnale sinusoidale di frequenza 0

EX. 23 Si consideri il segnale x(t) = V + cos(2πf t)

0

V

somma di una tensione continua e di un segnale interferente sinusoidale. Si vuole rimuo-

x(t) h(τ ) =

vere l’interferenza filtrando il segnale mediante un filtro SLS con risposta impulaiva

a δ(τ ) + a δ(τ − T ). f T = 1/2, a a

Nell’ipotesi in cui determinare i valori di ed affinchè

1 2 0 1 2

y(t) = V , ovvero si abbia la perfetta soppressione dell’interferenza in uscita.

EX. 24 Il sgenale periodico ∞

X x(t − 2k T )

x

(t) =

e k=−∞

con

2t t

x(t) = 2Λ − 1 rect

T T

viene filtrato con un filtro passabasso avente risposta armonica

f f

−j2π

H(f ) = rect e 4f 0

4f 0

f = 1/T y (t)

e

dove . Determinare il segnale in uscita al filtro.

0 y(t) = x(t) cos(2πf t), x(t)

EX. 25 Si consideri il segnale modulato dove è un segnale deterministico a

1

W = 1kHz f = 4W y(t)

banda (monolatera) limitata e . Per traslare a frequenze più elevate, esso

1

cos(2πf t), f = 5W z(t) = y(t) cos(2πf t)

viene moltiplicato per con , ed il segnale risultante

2 2 2

H(f ) H(f ) = 1 −

viene filtrato con il filtro passaalto ideale, avente cioè risposta armonica

f ) B

rect( dove è la frequenza di taglio.

2B y(t) z(t);

– Rappresentare graficamente gli spettri dei segnali e

– determinare i valori di B in corrispondenza dei quali il segnale in uscita al filtro passaalto è

w(t) = ax(t) cos [2π (f + f − 2) t], a

dove è un fattore di scala inessenziale.

1

EX. 26 Il segnale ∞

X x(t − 2k T )

x

(t) =

e k=−∞

con

t

x(t) = 2Λ − 1 rect(t/2T )

T

è filtrato con un filtro RC allo scopo di ottenere un segnale approssimativamente sinusoidale con

f = 1/(2T ). f

frequenza Determinare la frequenza a - 3 dB del filtro RC in modo che l’ampiezza

0 3 f

della prima componente sinusoidale a frequenza superiore ad del segnale filtrato sia pari ad 1/25

0

della fondamentale.

EX. 27 Classificare, motivando brevemente le risposte, ciascuno dei sistemi sotto riportati sulla base delle

loro proprietà (dispersività, invarianza temporale, linearità, causalità, stabilità).

y(t) = 2 exp [x(t)]

– y(t) = x(t − 2) − x(1 − t)

– y(t) = x(t) cos(2πt)

– y(t) = [x(t) + x(t − T )] u(t)

– y(t) = [x(t) − x(t − T )] u [x(t)]

–

EX. 28 Si consideri la cascata dei due sistemi definiti dai seguenti legami ingresso-uscita:

y (t) = x (t) cos(2πf t + θ);

– S1: 1 1 0

Y (f ) = X (f )rect(f /2B).

– S2: 2 2 x(t) = s(t) cos(2πf t), s(t)

Il segnale in ingresso alla cascata sia con segnale di energia passa-

0

B. f B, y(t)

basso con banda monolatera Supponendo, determinare l’energia del segnale

0

S1 − S2.

all’uscita della cascata

EX. 29 Classificare in base alle loro proprietà i sistemi a tempo continuo individuati dalle seguenti re-

lazioni ingresso/uscita

R +∞

y(t) = h(τ )x(t − τ )dτ

– 0

R +∞ 2

h(τ )x (t − τ )dτ

y(t) =

– 0

R +∞ 2

h(τ )x (t − τ )dτ

y(t) =

– 0

y(t) = dx(t)/dt

– R T

1

y(t) = x(t − τ )dτ

– −T

2T

EX. 30 Si consideri la cascata di tre sistemi:

S1 : y(t) = x(2t)

– S2 : h(t) = δ(t) − δ(t − 1)

– S3 : y(t) = x(t/2)

–

Determinare il legame ingresso/uscita del sistema costituito dalla cascata S1-S2-S3 e stabilire se è

lineare, tempo variante, stabile, dispersivo e causale.

z(t) = x(t) + cos(2πf t) x(t) X(f ) =

EX. 31 Sia con segnale passabasso con trasformata di Fourier

0

rect(f /2B) y(t) = z(t) ⊗ h(t) h(t)

e sia dove è un filtro passabanda avente risposta armonica

H(f ) = rect [(f − f )/2B] + rect [(f + f )/2B].

0 0

z(t)

– Determinare lo spettro di e rappresentarlo graficamente (si assuma per la rappresen-

f B);

tazione 0 f B y(t) x(t) cos(2πf t),

– determinare sotto quali condizioni per e l’uscita risulta proporzionale a

0 0

ovvero il sistema complessivo si comporta da modulatore di ampiezza.

2

x

(t) T g(x) =| x |

e

EX. 32 Siano un segnale periodico di periodo , una nonlinearità senza memoria e

H(f ) W = 1.5/T

un filtro ideale passabasso avente banda monolatera e guadagno unitario. Si

assuma che tutti i segnali ed i sistemi considerati siano reali. Determinare l’espressione del segnale

z(t) = h(t) ⊗ y (t) y (t) = g[e

x

(t)] ⊗

e e

dove e il simbolo denota la convoluzione.

EX. 33 Il segnale ∞

X k

x

(t) = (−1) x(t − 2k T )

e k=−∞

con

t

x(t) = Λ T