Teoria dei segnali - Esercitazione

Prova scritta di teoria dei segnali del 22 settembre 2006

Tempo: 2 ore e 30 minuti. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1

In una città sono presenti tre grossi supermercati, S1, S2 ed S3. Il numero di clienti che ogni giorno acquista in uno dei tre supermercati può essere modellato come una variabile aleatoria (v.a.) di Poisson Y caratterizzata dalla funzione di massa di probabilità (pmf)

kλ −λ
P (y = k) = e k = 0, 1, 2, ...
k!

con λ = 10 per il supermercato S1, λ = 11 per il supermercato S2 e λ = 5 per il supermercato S3.

• Stabilire quale dei tre negozi è mediamente più affollato;
• Supponendo che ogni giorno gli abitanti della città scelgono a caso il supermercato in cui spendere, si valuti la probabilità che un cliente acquisti in un supermercato della città;
• Infine, osservato che in un supermercato della città hanno acquistato meno di tre clienti, si valuti quale dei negozi è quello in cui con maggiore probabilità si è verificato l’evento ed il valore di tale probabilità.

Esercizio 2

2 (t) con

Si consideri il sistema LTI avente la seguente risposta impulsiva h(t) = α cos(πt)sinc |α| < 1.

• Calcolare l’uscita del sistema LTI in corrispondenza del segnale in ingresso x(t) = cos(πt)u(cos(2πt)).
• Valutare il valore della costante α tale per cui la potenza del segnale in uscita al sistema LTI sia 0.5.

Esercizio 3

j2πn

La sequenza x[n] = rep e R [n] è posta in ingresso al sistema LTI con risposta impulsiva

68|2n|
h[n] = a (|a| < 1).

• Calcolare l’area, il valor medio, la potenza e l’energia del segnale x[n];
• Valutare l’espressione del segnale y[n] in uscita al sistema;
• Trovare i valori di a per i quali il rapporto |X(ν)| / |Y (ν)| = è maggiore di 1 per ν = 1/4.