Statistica - Soluzione commentata Es. 3 Prova Esame 01/04/2009

Quesito n° 3

Modulo 2 Probabilità e Variabili Aleatorie Prova scritta 01/04/2009

Sia X ~ Bin(n, 1/3).

1. (2 punti) Qual è il valore per il parametro n, sapendo che la deviazione standard (o scarto quadratico medio) di X è pari a 2?
2. (2 punti) Qual è la probabilità di ottenere al massimo 16 successi nelle n prove (N.B. n è il valore del parametro trovato al punto (a)?)

Quesito n° 3

Modulo 2 Probabilità e Variabili Aleatorie Prova scritta 01/04/2009

Sia X ~ Bin(n, 1/3).

1. (2 punti) Qual è il valore per il parametro n, sapendo che la deviazione standard (o scarto quadratico medio) di X è pari a 2?
2. (2 punti) Qual è la probabilità di ottenere al massimo 16 successi nelle n prove (N.B. n è il valore del parametro trovato al punto (a))?

Richiami di teoria

Una Variabile Casuale X Binomiale di parametri n e p:

X ~ Bin (n, p)

Ha come funzione di Probabilità la seguente formula:

P(X) = _nC_p p^x · (1 – p)^n-x

Valore Atteso:

E(x) = n · p

Varianza:

Var(x) = σ² = n · p · (1 – p)

a)

Nel caso in esame abbiamo:

σ = 2 → σ² = 4

Pertanto:

n · p (1 – p) = 4

Sostituendo a p il valore dato (p = 1/3) si ha:

n · ¹/₃ (1 – ¹/₃) = 4

n · ¹/₃ (²/₃) = 4

n · ²/₉ = 4

n = 4 · ⁹/₂ = 18

b)

Dobbiamo ora trovare la Probabilità di avere al max 16 successi nelle n=18 prove:

P(X ≤ 16) = ?