Statistica - Soluzione commentata Es. 5 Prova Esame 01/04/2009

Quesito n° 5

Modulo 2 Probabilità e variabili aleatorie Prova scritta 01/04/2009

5. In media un cittadino corre per 30 minuti al giorno. Supponendo che il tempo della corsa (X) sia distribuito secondo una distribuzione Normale

a) (3 punti) Si determini σ tale che nel 97% dei casi il tempo di corsa sia almeno di 27 minuti.

Quesito n° 5

Modulo 2 Probabilità e Variabili Aleatorie Prova scritta 01/04/2009

5. In media un cittadino corre per 30 minuti al giorno. Supponendo che il tempo della corsa (X) sia distribuito secondo una distribuzione Normale

(3 punti) Si determini σ tale che nel 97% dei casi il tempo di corsa sia almeno di 27 minuti.

Distribuzione normale

Supponendo che il tempo della corsa X sia distribuito secondo una Distribuzione Normale:

X ~ N (30, σ²)

Determinazione di σ

a) Per determinare il valore di σ tale che, nel 97% dei casi, il tempo di corsa sia 27 min, deve valere la seguente probabilità:

P(27 ≤ X) = 97% = 0,97

Consideriamo la seguente relazione di normalizzazione:

Z = (X - μ)/σ

Vediamo come trovare il valore della variabile normalizzata Z che corrisponde al valore della variabile X₀ = 27:

Indichiamo con - Z₀ il valore corrispondente a 27 nella distribuzione normalizzata (negativo in quanto precede la media pari a 0), pertanto si ha:

P(- Z₀ ≤ Z) = 0,97

Al fine di poter utilizzare le tavole della Distribuzione Normalizzata trasformiamo la relazione sopra nella seguente equivalente (v. fig.)

P(Z ≤ Z₀) = 0,97