Sistemi lineari e matrici: Esempi vari

Perciò abbiamo: .

Dalla matrice completa possiamo estrarre quattro minori del ordine, da cui si trova subito che:

( ) | | | | | |

In tal caso non serve calcolare anche i determinanti delle altre sottomatrici perché a noi basta trovarne

( )

uno che sia diverso da zero! Pertanto: .

almeno

Ne segue che la matrice dei coefficienti e quella completa hanno lo stesso rango, e quindi per Teorema

non

di Rouchè-Capelli, il sistema è impossibile.

{

4. Risolviamo il seguente sistema lineare

Il sistema, come si vede, è omogeneo, perciò ammette la soluzione nulla. Per verificare se ammette

almeno

anche altre soluzioni, procediamo scrivendo la matrice incompleta e quella completa del sistema:

( ) ( )

da cui il determinante della matrice dei coefficienti risulta

( ) | | | | | | | |

( )

e quindi: .

Dalla matrice completa possiamo estrarre sempre quattro minori del ordine, tre dei quali (avendo

l’ultima colonna con tutti zeri), i rispettivi determinanti saranno nulli. Infatti:

( ) ( ) ( )

| | | | | |

( ) ( )

| |

mentre ( )

quindi, avendo trovato una sottomatrice il cui determinante è diverso da zero, si ha che: .

( ) ( )

Possiamo quindi concludere che essendo , per Teorema di Rouchè-Capelli il sistema

risulta possibile, e in questo caso (essendo omogeneo) si ha la soluzione nulla:

soltanto

5. Vogliamo risolvere il seguente sistema lineare di tre equazioni in tre incognite

{ ( ).

Il sistema è omogeneo, quindi ammette la soluzione nulla, ossia la terna

almeno

Per poter se ammette anche altre soluzioni, scriviamo la matrice incompleta e quella completa del sistema

( ) ( )

e procediamo ad analizzarle, verificando il Teorema di Rouchè-Capelli, ossia se entrambe le matrici hanno

lo stesso rango. Se così fosse, il sistema risulta possibile, in caso contrario, impossibile.

Il determinante della matrice dei coefficienti è (come si vede, la prima colonna è proporzionale alla terza oppure la

seconda riga è la somma della prima e della terza):

( ) | | ( )

perciò la matrice dei coefficienti non ha rango , ma sarà al massimo . Affinché sia , deve esserci

una sottomatrice di il cui determinante si diverso da zero.

almeno

Se consideriamo il minore del ordine formato dalle prime due righe e dalle prime due colonne, si ha:

( ) | |

( )

Per cui si ha: .

Dalla matrice , come si può facilmente vedere, si possono estrarre quattro minori del ordine tutti nulli:

( ) | |

( ) | |

( ) | | ( )

( )

di cui è la matrice dei coefficienti, quindi si ha: .

Perciò il rango di non è . Esiste, però, una una sottomatrice di il cui determinante è diverso da zero.

Ad esempio, quella già trovata in precedenza:

( ) | |

( )

Perciò abbiamo: .

Avendo le due matrici (quella dei coefficienti e quella completa) lo stesso rango, per il suddetto Teorema di

Rouchè-Capelli, il sistema è possibile. Questa volta, però, possiamo applicare la regola di Cramer per

non

determinare le sue soluzioni; procediamo quindi a risolvere il sistema trascurando una delle tre equazioni e

assumendo una delle tre incognite come un parametro.

Essendo la seconda equazione la somma della prima e della terza, essa può essere trascurata. Procediamo

adesso a risolvere il sistema determinando la generica soluzione: in questi casi possiamo scegliere per

( )

comodità e praticità le equazioni e le incognite della sottomatrice , in quanto !

Consideriamo quindi la prima e la terza equazione e le prime due incognite, cioè e

{

e conveniamo di scegliere come un parametro, cioè poniamo (con ): il sistema diventa

così: {

Sappiamo già che il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero: lo abbiamo scelto di

proposito, quindi abbiamo ottenuto un sistema di due equazioni in due incognite, che ora possiamo

risolvere con la regola di Cramer:

| | | |

Quindi { {

In definitiva, la del sistema è

soluzione generale {

( ),

fra cui la terna nulla ottenuta per .

Sistema di più incognite che equazioni

6. Risolviamo il sistema lineare di due equazioni in tre incognite

{

In questo caso abbiamo più incognite che equazioni. Vediamo perciò cosa succede.

La matrice incompleta e quella completa del sistema sono, rispettivamente,

( ) ( )

Poiché tutti e tre i minori del 2° ordine estratti dalla matrice dei coefficienti sono tutti nulli (come si vede, le

due colonne sono proporzionali!)

( ) ( ) ( )

| | | | | | ,

( )

allora tale matrice ha rango (infatti qualsiasi minore del ordine è certamente diverso da zero!).

Cosa diversa invece succede con la matrice completa : tutti e quattro i minori del 2° ordine estratti non

sono tutti nulli. Infatti uno di questi è: ( ) | | ,

( )

perciò la matrice completa ha rango .

( ) ( ),

Possiamo così concludere che e quindi il sistema risulta impossibile.

Tale fatto risulta anche evidente dividendo entrambi i membri della prima equazione per e quelli della

seconda per . Si ottiene così {

Come si può vedere le due equazioni sono incompatibili: se una è vera, l’altra è falsa!

7. Vogliamo risolvere il sistema lineare di due equazioni in tre incognite

{

In questo caso la matrice dei coefficienti e quella completa del sistema sono, rispettivamente,

( ) ( )

Visto che esiste un minori del ordine estratto dalla matrice dei coefficienti non nullo, ad esempio

( ) | | ,

( )

si conclude che: .

Dalla matrice completa possiamo estrarre sempre dei minori del ordine, ma la sottomatrice è anche

( ) ( )

una sottomatrice di , e quindi sappiamo già che . Perciò: ( ) ( ),

Ne segue che la matrice dei coefficienti e quella completa hanno lo stesso rango, cioè e

quindi per Teorema di Rouchè-Capelli, il sistema è possibile ed essendo e , il sistema è

e ammette soluzioni.

indeterminato

A questo punto procediamo nella risoluzione e determiniamo la generica soluzione: ancora una volta

( )

conveniamo di scegliere le equazioni e le incognite della sottomatrice , in quanto .

A tale scopo consideriamo quindi solo le prime due equazioni e le prime due incognite, cioè e ,

mentre consideriamo l’incognita come un parametro, ossia poniamo (con ). Il sistema

diventa: {

Abbiamo così un sistema di due equazioni in due incognite che ora possiamo risolvere utilizzando la

consueta regola di Cramer:

| | | |

Quindi si ha { {

In definitiva, la del sistema è

soluzione generale {

espressa in funzione della variabile libera . Ad esempio, se si ha la soluzione particolare

8. Vogliamo risolvere il sistema lineare di tre equazioni in quattro incognite

{

Iniziamo scrivendo la matrice incompleta e quella completa del sistema: si ha

( ) ( )

Dalla matrice dei coefficienti possiamo estrarre quattro minori del ordine tutti nulli (infatti in ognuna la

seconda riga è la somma della prima e della terza!):

( ) ( )

| | | |

( ) ( )

| | | |

Il rango di non può quindi essere , ma sarà al massimo : verifichiamo che esista una sottomatrice del

ordine il cui determinante sia diverso da zero. Ad esempio, ( )

( ) | |

( )

Ne segue che:

Anche dalla matrice completa possiamo estrarre sempre quattro minori del ordine tutti nulli (infatti anche

in questo caso la seconda riga è la somma della prima e della terza!):

( ) ( )

| | | |

( ) ( )

| | | |

Perciò il rango di non può essere , ma sarà al massimo . La condizione che esista una sottomatrice del

ordine il cui determinante sia diverso da zero è già soddisfatta: è sempre la sottomatrice !

( )

( ) | |

( )

Si ha così che: ( ) ( )

La matrice dei coefficienti e quella completa hanno pertanto lo stesso rango, cioè , per

Teorema di Rouchè-Capelli, il sistema risulta possibile ed essendo e , il sistema è indeterminato

e ammette soluzioni.

A questo punto risolviamo il sistema determinando la generica soluzione: come abbiamo già osservato, in

( )

questi casi conveniamo di scegliere le equazioni e le incognite della sottomatrice , in quanto .

Consideriamo quindi le prime due equazioni e la seconda e la terza incognita, cioè e , mentre

consideriamo le altre due incognite e come due parametri, ossia poniamo e (con ,

): in questo modo il sistema diventa:

{ {

Con banali sostituzioni si ottiene { {

{

da cui la del sistema:

soluzione generale {

espressa in funzione della variabile libera . Ad esempio, se e si ha la soluzione particolare

Sistema di più equazioni che incognite

9. Vogliamo risolvere il sistema lineare di tre equazioni in due incognite

{

Diversamente dai precedenti esempi, questa volta abbiamo più equazioni che incognite. Vediamo cosa

succede rispetto ai casi visti finora.

La matrice dei coefficienti e quella completa del sistema sono, rispettivamente,

( ) ( )

Dato che dalla matrice dei coefficienti possiamo estrarre un minore del ordine non nullo, per esempio

( ) | | ,

( )

ne segue che: .

Per la matrice completa , invece, si ha subito che:

( ) | | | | | | | |

Perciò il rango di non può essere , ma sarà al massimo . La condizione che esista una sottomatrice del

ordine il cui determinante sia diverso da zero è già soddisfatta: è la sottomatrice !

( )

( ) | |

( )

Perciò ha che: . ( ) ( )

Ne segue che la matrice incompleta e quella completa hanno lo stesso rango, ossia . Per

Teorema di Rouchè-Capelli, il sistema risulta possibile ed è determinato.

In questo caso, però, non possiamo applicare la regola di Cramer. Scegliamo per praticità e comodità

subito

le equazioni e le incognite della sottomatrice , in quanto, come abbiamo visto più volte, essa ha

determinante diverso da zero!

Consideriamo quindi la prima e la seconda equazione: il sistema si riduce così alla forma

{

Ottenuto così un sistema di due equazioni in due incognite, ora possiamo risolverlo con la regola di

Cramer: | | | |

Quindi si ha { {

{

In conclusione, la soluzione del sistema è .

10. Vogliamo risolvere il sistema lineare di tre equazioni in due incognite

{

La matrice incompleta e quella completa del sistema sono, rispettivamente,

( ) ( )

Poiché possiamo estrarre un minore del ordine non nullo dalla matrice incompleta , ad esempio

( ) | | ,

( )

si ha subito che: .

Per la matrice completa , invece, il determinante vale:

( ) | | | | | | | |

( )

Pertanto la matrice completa ha rango . ( ) ( ),

Visto che la matrice incompleta e quella completa hanno lo stesso rango